控制工程基础系统时域响应分析

杨叔子《机械工程控制基础》第三章：系统的时域响应分析，包括时间响应的组成、典型输入信号、一阶和二阶系统的特性分析、系统误差的计算以及MATLAB在时域响应分析中的应用等内容。

系统的时域响应分析

• 基本概念
  • 时域响应
    • 响应x0(t)
      • 与系统结构参数有关、与外加输入信号、与初始条件有关。
      • 求解
        • 1.求解微分方程
        • 2.对X0(t)求laplace逆变换
    • 时间响应
      • 在输入作用下系统的输出（响应）在时域上的表现形式，即系统的微分方程在一定初始条件下的解。
      • 系统的动力学方程一般为：
        • 该方程的解的一般形式为：
    • 分类
      • 按响应的来源
        • 零输入响应
          • 完全由输入输出的初始条件决定的项。
          • 系统的输入为零时，由初始状态引起的响应
        • 零状态响应
          • 在零初始条件下得到的响应，只决定于系统本身
          • 初始状态为零时，由系统的输入引起的响应
      • 按响应的性质
        • 强迫响应项
          • 在系统的时间响应中，由系统输人和初始状态所引起的由系统特征根决定的响应
        • 自由响应项
          • 在系统的时间响应中,由系统输入所引起的、与输入频率具有相同的响应
          • 系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡
            • 特征根的实部影响自由响应的收敛性： 1.若所有特征根的实部均为负值，系统自由响应收敛，此时系统稳定。 2.若存在特征根的实部为正值，系统自由响应发散，此时系统不稳定。 3.若存在特征根的实部为零，而其余特征根的实部均为负值，系统自由响应等幅振荡，此时系统临界稳定。
            • 特征根的虚部影响自由响应的振荡幅度： 虚部绝对值越大，自由响应的振荡越剧烈。
      • 对于稳定的系统
        • 自由响应项=瞬态响应
          • 瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性
        • 强迫响应项=稳态响应
          • 稳态响应反映了系统响应的准确性
    • 关系
      • 函数是什么关系，其响应也是同样的关系（导数与积分） 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分； 积分常数由零初始条件确定。
  • 一阶系统的时域分析
    • 典型输入信号laplace变换
    • 一阶系统的单位脉冲响应
    • 一阶系统的单位阶跃响应
      • 响应曲线在t=0时的切线斜率为1/T
    • 一阶系统的单位斜坡响应
    • 一阶系统的时间响应分析：时间常数T对时间响应的影响
      • 时间常数T越小，系统惯性越小，响应越快；
      • 时间常数T越大，系统惯性越大，响应越慢。
    • 一阶系统的时间响应分析：性能指标
      • 调整时间：单位阶跃输入作用下，其响应与稳态值相差等于容许误差所需要的时间。
      • 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。 用稳态值的百分数（通常取5%或2%）
      • 容许误差△越小，精度要求越高，调整时间越长； 时间常数T越大，系统惯性越大，调整时间越长。
  • 二阶系统的时域分析
    • 特征方程
      • • 特征根
    • 过阻尼 ξ>1
      • 两个不相等的实根
        • 主导极点（离虚轴近）
    • 临界阻尼 (ξ =1)
      • 两个相等的实根
        • 无超调单调上升过程，过渡过程时间长
    • 欠阻尼状态 (0 < ξ <1)
      • 一对共轭复根
    • 无阻尼状态 (ξ = 0）
      • 虚轴上，瞬态响应为等幅振荡
        • 等幅振荡
    • 二阶系统的阻尼比影响系统的振荡特性
      • 阻尼比越小，振荡越剧烈
    • 总结
    • 五个性能指标计算
      • 上升时间(tr)
        • 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越 短，响应速度越快。对有振荡的系统，定义为响应从零第一次上升到 终值所需的时间。
      • 峰值时间(tp)
      • 最大超调量(Mp)
        • ξ越大Mp越小
      • 调整时间(ts)
        • ξ=0.7时作为最佳阻尼比
      • 振荡次数(N)
    • 讨论
    • 解体思路
      • 1.已知系统特性，求系统性能
      • 2.要求系统性能，确定系统特性
      • 改善方法
        • 比例微分
          • 提前控制
        • 输出量负反馈
          • 增大
    • 线性系统的准确性分析
      • 稳态误差：衡量系统的准确性能好坏，反映了系统跟踪控制信号，抑 制扰动信号能力。
      • 无差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统; 有差系统：在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统;
      • 稳态误差与稳态偏差
        • 稳态性能
          • 指标
            • 稳态误差
              • 如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合， 就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。
        • 误差
          • 以输入端为基准定义
        • 偏差
          • 以输出端为基准定义
        • 误差与偏差的关系
        • 稳态误差
          • • 定义
              • 对于稳定系统，当其暂态响应分量衰减到足够小时稳态响应的期 望值与实际值的差，叫稳态误差
            • 稳态偏差与输入有关
        • 稳态偏差
          • • 稳态偏差与系统开环传递函数有关
        • 与输入有关的稳态偏差
          • 设系统开环传递函数
            • • v =0,1,2时，分别称为0型，Ⅰ型，Ⅱ型系统
              • 系统型次越高，稳态偏差越小；开环增益越大，稳态偏差越小
        • 结论
          • （1）稳态偏差与输入信号有关； （2）稳态偏差与系统型次有关：型次越高，稳态偏差越小； （3）稳态偏差与系统开环增益有关：开环增益越大，稳态偏差越小； （4）当系统存在多个输入作用或干扰作用时，按叠加原理进行计算； （5）单位反馈系统的稳态误差与稳态偏差相同。
  • 高阶系统的单位阶跃响应
    • 只留下主导零极点
    • 高阶系统均可化为零阶，一阶，二阶环节的组合
  • R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
• 控制工程基础