控制工程基础系统的稳定性

杨叔子《机械工程控制基础》第五章：系统的稳定性，稳定性指控制系统在外作用消失后，能够自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能力。如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。

控制工程基础

• 系统的稳定性
  • 系统稳定性的基本概念
  • 系统稳定的充要条件
    • 闭环传递函数的极点全部位于s平面的左半平面，或闭环极点全部具有负实部
  • 代数稳定性判据-劳斯（Routh）稳定判据 闭环特征方程
    • 必要条件-特征方程所有系数符号相同，且不为零
      • 稳定前提
    • 用闭环传递函数的分母表达式
      • 即闭环特征方程
      • 闭环传递函数才可以表现系统的全部特征，这些特征中就包含了稳定性
    • Routh表
      • 设系统的特征方程为：
      • 则系统的Routh表为：
      • Routh判据
        • 第1列所有元素符号相同
        • 第1列元素符号改变的次数，等于实部为正的特征根的个数
        • 系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。
    • 2种特殊情况
      • 第1列出现零元素
        • 系统必然为临界稳定或不稳定
        • 用任意小的整数ε代替零元素完成劳斯阵列
        • 若第一列的元素无符号改变
          • 系统有虚根，临界稳定
          • 系统正弦或余弦振荡
        • 若第一列仍有符号改变
          • 系统有正实部的根，不稳定
          • 系统发散
      • 全行元素为零
        • 利用前一行的元素作为系数，构造辅助方程A(s)=0。辅助方程中只会出现s的 偶次幂（必然），它的根是一部分特征根。
        • 将辅助方程对s求导，然后，用dA(s)/ds的系数替换元素全为零的行，继续构 造劳斯阵列。
  • 几何稳定性判据-Nyquist稳定性判据 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
    • Nyquist判据：
      • 当w由-∞到+∞时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jw)H(jw)逆时针方向包围点(-1，j0)P圈，则闭环系统稳定。P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。
      • s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。
      • N=Z-P，Z为Ls内的F(s)的零点数， P为Ls内的F(s)的极点数。 即Z=N+P，当Z=0时系统稳定
    • 开环传递函数
    • F(s)的极点即为开环传递函数的极点 F(s)的零点即为闭环传递函数的极点
    • 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
      • 当s沿小半圆从w=0－变化到w=0＋，角从-Π/2变到Π/2时，[GH]平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从vΠ/2经0变到-vΠ/2。
    • 应用Nyqiust稳定性判据分析延时系统的稳定性
      • 延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使原系统的相频特性发生变化。
  • Bode稳定性判据--几何判据，Nyquist判据的引申
    • • Nyquist图上的单位圆 → Bode图的0dB线，即对数幅频特性图的横轴； Nyquist图上的负实轴 → Bode图的-180°线，即对数相频特性图的横轴。
    • 穿 越：开环Nyquist轨迹在点(-1,j0)左侧穿过负实轴，即对数相频特性穿过-180°线 负穿越：随着w的增加，开环Nyquist轨迹自下而上（相位减小）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自上而下穿过-180°线） 正穿越：随着w的增加，开环Nyquist轨迹自上而下（相位增大）穿过负实轴 （对应于Bode图，对数相频特性自下而上穿过-180°线）
    • Bode判据：
      • 当w由0到+∞时，若开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180°线的正穿越与负穿越次数之差为P/2，则闭环系统稳定。
  • 控制系统的相对稳定性
    • 相位裕度：
      • 在w=wc时，GK(jω)的相频特性(wc）距-180°线的相位差值。
    • 幅值裕度：
      • 在w=wg时，GK(jω)的幅频特性│GK(jwg)│的倒数。