导图社区 矩阵论（理论）
矩阵论（理论）知识思维扩展第一期思维导图。 备注：不是完整版。
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矩阵论（理论）
线性空间，线性映射
p
标准线性空间
从几何空间到线性空间
V是什么？空间所有有向线段的全体
F是什么？数域
加法定义：平行四边形法则
数乘：伸缩
是否满足八条运算法则？符合
函数空间
向量组及其矩阵
向量组的线性相关性
由此可得线性空间的基与坐标
有限维线性空间的基，坐标
两个向量组的线性表示
向量组的极大线性无关组
向量组的秩
子空间
向量组生成的子空间
子空间的生成组
例
核与像
子空间的交与和
线性映射与线性变换
图示
应用：机器人导论
线性与非线性的例子
非
线
矩阵与标准线性空间的线性映射两事物的等同性
有此引出之后的概念-->
线性映射的矩阵表示
标注
线性映射用坐标计算
微分算子的矩阵表示
旋转变换的矩阵表示
在线性空间的概念下，空间之间的变换（映射）
矩阵分析
矩阵序列
矩阵序列极限（收敛）
利用矩阵范数研究矩阵序列的极限
p p
例如：方阵的幂所构成的矩阵序列
收敛的充要条件谱半径<1
矩阵级数
矩阵函数
Hamilton-Cayley定理
原理一样
待定系数法（最小多项式）
相似对角化
原矩阵标准化
利用Jordan标准型
矩阵的微分和积分
函数矩阵的微分积分
数量函数对矩阵变量的导数
矩阵值函数对矩阵变量的导数
矩阵分析的应用（最小二乘法）
无约束条件下的实数域上的最小二乘
有约束条件下的实数域下的最小二乘
矩阵分解
矩阵的三角分解
满秩矩阵A（方阵）可做三角分解的充分必要条件：A的k（k=1,...,n-1）阶顺序主子式不为零
矩阵A可三角分解的条件
非满秩矩阵A可做三角分解的充分条件： A的前r（r<n）阶顺序主子式不为零
LDR分解
A有唯一的LDR分解<=>A的k（k=1,...,n-1）阶顺序主子式不为零
Doolittle分解
数值分析中的LU分解
有唯一分解<=>满秩的A顺序主子式不为零
Crout分解
数值分析中的分解
Cholesky分解
A是hermite正定，计算过程：再说
矩阵的QR分解
任何nXn矩阵都可以进行QR分解
A满秩则有唯一的OR分解
矩阵的满秩分解
A的满秩分解总是存在的
mXn矩阵
矩阵的奇异值分解
任意的矩阵可奇异值分解
A满秩则奇异值分解为对角阵
范数理论
基
什么是基，如何判别一组向量是不是相应线性空间的一组基
1，线性无关性（向量组中的n个向量线性无关，极大线性无关组的个数是n）
2，生成性。线性空间中的任何一组向量都可以由基线性表示
什么是无限维
线性空间描述的名词解释及相关问题
什么是域F？
卡氏积
映射符号小知识点
如何确认是线性空间
确定V是什么
域F是什么
加法和数乘是如何定义的
是否满足8条运算规则
加法写成卡氏积的结构？
定义一个二元函数，自变量是集合V中的元素
元素的“加法运算”有构建线性空间的作者决定
这个加法要满足运算规则
一般向量加法是对应元素的数值加
预备知识点
什么是一一对应
什么是同构
可逆的线性映射称为同构
抽象线性空间经“基”到标准线性空间：他们是同构的 1线性映射 2这种映射是可逆的（一一对应的特性）
实现了抽象线性空间到标准线性空间的一一对应
标准基I与一般基（顾名思义）
有限维与无限维
