函数单元知识梳理的思维导图

这是一篇关于函数单元知识梳理的思维导图的思维导图，主要内容包括：函数基础，基本不等式:，函数，集合与逻辑，指数对数。

函数单元知识梳理的思维导图

• 函数基础
  • 1.函数的概念:
    • (1)设 D 是一个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对集合 D 中任意给定的x，都有唯一的实数，与之对应，就称这个对应关系f为集合D 上的一个函数.
    • (2)定义域和对应关系是函数的两个重要要素。函数的值域由其定义域和对应关系决定，两个函数的定义域和对应关系都相同(形式上未必相同)时，两个函数是相同的.
    • (3)函数的图像是表示函数性质的直观有力的工具.
  • 2.函数的性质:
    • (1)如果对定义域 D 中的任意给定的x，均有一x∈D，并且f(x)=f(一x)，那么称 y=f(),x∈D是一个偶函数;如果对定义域 D 中的任意给定的x，均有一x∈D，并目 f(x)=-f(一x)，那么称y=f(r)，x€D是一个奇函数,函数的奇偶性刻画了函数图像关于原点及y轴的对称性.
    • (2)对于定义在 D 上的函数y=f(x)，设区间I是D 的子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值 x1、x,当 x<x, 时，如果总有 f(x)<f(xz)(f(xi)<f(x))，就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数(增函数);如果总有 f(±ī)>f(x)(f(*ī)≥f(x))，就称函数 y=f(x)在区间I上是严格减函数(减函数).这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势.
    • (3)设函数 y=f(x)在定义域内的x。处的函数值是 f(x0).对于定义域内任意给定的x，如果不等式 f(x)>f(x0)都成立，那么 f(x0)叫做函数 y=f(x)的最小值;如果不等式f(x)≤f(ェ·)都成立，那么 f(x0)叫做函数 y=f(x)的最大值，最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标.
  • 3.函数的应用:
    • (1)在建立函数关系时，需要注意其定义域.
    • (2)依靠函数y=f(x)，可以用动态的观点来考察方程 f(x)=0的求解，以及不等 式 f(z)>0 的求解.
    • (3)对于函数y=f(z)，x∈D，若存在c∈D，目f(c)=0，则称c是函数y=/(x)，x€D 的一个零点，零点是指函数图像与x轴交点的横坐标. 对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段.
  • 4.反函数:
    • (1)反函数来源于解关于ェ的方程f(x)=y所得到的对应关系.
    • (2)如果函数 y=f(*)在定义域 D 上不同的x处所取到的函数值也不相同，那么y=f(x)就存在反函数,在定义域上严格单调的函数必存在反函数.
    • (3)函数 y=f(*)的图像与其反函数 y=f-(x)的图像关于直线 y=x 成轴对称,
• 指数对数
  • 1.指数幂的拓展:正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂
  • 2.幂的运算性质:对任意给定的正数a、b及实数s、t,
  • 3.对数的定义:当α是不等于1的正数，N>0 时，N 以a 为底的对数 logN 是满足a^x=N的唯一的数x.
  • 4.对数的基本性质:设α是不等于1的正数，M 及N 是任意给定的正数，c是任意给定的实数。
    • (b)(换底公式)如果b也是一个不等于1的正数，那么
• 函数
  • 1.幂函数 y=x^a的定义域由指数a决定,随着指数a的不同，幂函数的定义域是不同的.
  • 2.幂函数 y=x^a有单调性:当a>0 时，它在区间(0,+∞)上是严格增函数;而当a<0时，它在区间(0,十∞)上是严格减函数.
  • 3.指数函数 y=a^x(a>0 目a≠1)的定义域是全体实数.
  • 4.指数函数 y=a^x(a>0 目a≠1)有单调性:当a>1时，它在 R上是严格增函数;而当0<a<1时，它在 R上是严格减函数.
  • 5.对数函数 y=logax(a>0 目a≠1)的定义域是全体正实数.
  • b.对数函数 y=logax(a>0 目a≠1)有单调性:当a>1时，它在区间(0,+∞)上是严格增函数;而当 0<a<1 时，它在区间(0,+∞)上是严格减函数.
• 集合与逻辑
  • 1.集合的概念与表示:
    • (1)集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征，常用数集有 N、Z、Q、R 等.
    • (2)空集是不含任何元素的集合.
    • (3)当a、b€R, 且a<b 时,满足a<x<b 的所有实数x 组成的集合记作开(a,b)，满足a<x<b的所有实数x 组成的集合记作闭区间[a,b].
  • 2.集合的关系与运算:
    • (1)子集关系可分为两类:真子集与相等的集合.
    • (2)集合A与B的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作A∩B，集合A与B的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作AUB.
    • (3)对于全集U，其任一子集A 均有补集.一个集合A 的补集是指在全集U中而在A 中的所有元素组成的集合，记作A
  • 3. 命题:
    • (1)命题是指能判断其真假的语句.
    • (2)命题有真、假两类
    • 条件
      • p⇒q:P是q的充分条件,q是P的必要条件 A∈B
      • p⇒q且q⇒/P:P是q的充分不必要条件 A∉B
      • q⇒P且P⇒/q:P是q的必要不充分条件B∉A
      • P⇒q且q⇒P(P⇔q):P是q的充要条件A=B
      • P⇒/q且q⇒/P:P是q的既不充分也不必要条件A∉B且B∉A
    • 四种命题及相互关系
    • 四种命题的真假关系
    • 常见词语的否定词语
  • 4.充分条件与必要条件：
    • (1)当a→β时，α是β的充分条件，β是a的必要条件,
    • (2)当a今月时，“是β的充要条件.此时，在推理过程中a与β能互相替换
  • 5.反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法,
• 基本不等式:
  • 平均值不等式
    • 当且仅当a=b 时等号成立.
  • 常用不等式
    • a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
    • ((a+b)/2)^2>ab当且仅当a=b时等号成立,
  • 三角不等式 |a+Ы≤|a|+|b|，当且仅当 ab≥0 时等号成立