相交线与平行线十八大必考点

从相交线到平行线，我们总结了十八大必考点，涵盖同位角、内错角、同旁内角的判断，平行线的判定与性质，以及平移的巧妙运用。通过题型16到18，你将学会如何利用平移解决实际问题，计算草坪面积，甚至探索生活中的平移现象。掌握这些技巧，几何难题将迎刃而解，助你轻松应对考试与生活中的几何挑战！

相交线与平行线十八大必考点

• 【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】
  • 【例1】（2022·河南新乡·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角
• 【考点2 三线八角中的截线问题】
  • 【例2】（2022·四川省广元市宝轮中学七年级期末）如图，已知∠1和∠2是内错角，则下列表述正确的是（ ）A．∠1和∠2是由直线AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直线AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直线DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直线DA、DB被AC所截形成的
• 【考点3 根据平行线的判定与性质进行证明】
  • 【例3】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
  • 如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
• 【考点4 直线旋转中的平行线的判定】
  • 【例4】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）
  • 【变式4-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）
• 【考点5 与垂线有关的角度计算或证明】
  • 【例5】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
  • 【变式5-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
    • (1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
    • ①依题意补全图形；
    • ②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
    • (2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
• 【考点6 利用平行线的判定与性质计算角度】
  • 【例6】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；．(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．
• 【考点7 平行线的性质在生活中的应用】
  • 【例7】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图线段AB和CD表示两面镜子，且直线AB∥直线CD，光线EF经过镜子AB反射到镜子CD，最后反射到光线GH.光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论：①直线EF平行于直线GH；②∠FGH的角平分线所在的直线垂直于直线AB；③∠BFE的角平分线所在的直线垂直于∠4的角平分线所在的直线；④当CD绕点G顺时针旋转90时，直线EF与直线GH不一定平行，其中正确的是（ ）
• 【考点8 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】
  • 【变式8-1】（2022·湖北襄阳·七年级期末）如图，已知AM∥BN，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP与∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
  • (1)若∠A=50°，求∠CBD的度数；
  • (2)在点P的运动过程中，∠BPA与∠BDA的数量关系是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BPA与∠BDA的数量关系；
  • (3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，探究∠ABC与∠DBN的数量关系，并证明你的结论．
• 【考点9 平行线的运用（单一辅助线）】
  • 【例9】（2022·四川德阳·七年级期末）已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I-∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．(3)如图3，若∠ACB＝45°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接写出∠CAE：∠CAN的值．
• 【考点10 平行线的运用（多条辅助线）】
  • 【例10】（2022·云南普洱·七年级期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
  • (1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．
  • (2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
  • (3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
• 【考点11 平行线在折叠问题的运用】
  • 【变式11-1】（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期末）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=( )
  • 【变式11-2】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，将三角形ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE.试说明：DE∥BC．
• 【考点12 平行线在三角尺中的运用】
  • 【变式12-1】（2022·河北·青县教育局教研室七年级期末）把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN=_________；
• 【考点13 平行线中的规律问题】
  • 【变式13-1】（2022·山东烟台·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
• 【考点14 平行线中的转角问题】
  • 【例14】（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为α（旋转角0∘360∘，请探究下列问题：(1)如图2，当旋转角满足0∘60∘时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；(2)如图3，当旋转角满足60∘120∘时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；(3)当DE//BC时请直接写出旋转角的度数．
• 【题型15 生活中的平移现象】
  • 【变式15-2】（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从点A出发爬到点B，只考虑路径、时间、路程等因素，下列结论正确的为（ ）A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定哪只蚂蚁先到
• 【题型16 图形的平移】
  • 【变式16-2】（2022春·八年级单元测试）观察下列五幅图案，在②③④⑤中可以通过①平移得到的图案是（ ）
• 【题型17 利用平移的性质求解】
  • 【例17】（2022春·广东江门·七年级统考期末）如图，长方形ABCD的长AB为8，宽AD为6，将这个长方形向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到长方形EFGH，则阴影部分的面积为（ ）A．30B．32C．36D．40
  • • 如图，直角三角形ABC的周长为2021，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行，则这5个小直角三角形周长的和为_________．
• 【题型18 利用平移解决实际问题】
  • 【例18】（2022春·北京西城·七年级北京市西城外国语学校校考期中）如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米．
  • 【变式18-1】（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米．
  • 【变式18-2】（2022春·全国·七年级专题练习）如图（单位，m），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积．