分数

这张思维导图系统地梳理了分数和小数的基本概念、它们之间的关系以及基本的运算规则，对于理解和学习分数和小数的相关知识非常有帮助。

分数

• 定义
  • 概念
    • 意义
      • 把一个总体平均分成若干分之后，其中的1份或若干份可以用分数表示
    • 分数的基本性质
      • 分数的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数，所得的分数与原分数大小相等，即a ／b = a* m ／b * m = a ／n ／b ／n( b≠ 0，m≠ 0，n≠ 0)
      • 最简分数
        • 分子和分母互素的分数叫做最简分数
  • 与除法之间的联系
    • 被除数／除数=被除数／除数=分子／分母
    • 一般的，两个正整数相除的商可以用分数表示，即p ／q = p ／q(p，q为正整数)
  • 分数的种类
    • 真分数
      • 分子比分母小的分数叫做真分数
    • 假分数
      • 分子大于或等于分母
    • 带分数
      • 由整数和真分数组成
• 约分与通分
  • 约分
    • 把一个分数的分子和分母的公因数约去的过程称之为约分
  • 通分
    • 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分
• 分数的运算
  • 加法
    • 同分母分数相加
      • 分母不变，分子相加
    • 异分母分数相加
      • 先通分，然后按照同分母分数加减法法则进行计算
  • 减法
    • 同分母分数相减
      • 分母不变，分子相减
    • 异分母分数相减
      • 先通分，然后按照同分母分数加减法法则进行计算
  • 乘法
    • 意义
      • 两个分数相乘p ／q* m ／n，以p ／q为总体，再等分为n份，取其中的m份，其结果是乘p ／q* m ／n，即表示p ／q的m ／n是多少，法则：p ／q * m ／n = pm ／qn(q≠ 0，n≠ 0)
  • 除法
    • 倒数
      • 定义
        • 1除以这个数的商，叫做这个数的倒数，互为倒数的两个数的乘积为1
        • 求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母调换位置
        • 归纳
          • 一个数（除零外）的倒数的倒数就是它本身
    • 法则
      • 甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数
      • 用字母表示
        • n ／q ／p = n* p ／q(n≠ 0，p≠ 0，q≠ 0)
• 分数、小数的四则混合运算
  • 整数的用算定律
    • 交换律
      • 加法
        • a+ b = b+ a
      • 乘法
        • a* b = b* a
    • 结合律
      • 加法
        • a+ b+ c = a+ (b+ c)
      • 乘法
        • a* b* c = a* (b* c)
    • 分配律
      • （a+ b）* c = a* c+ b* c
  • 加减混合运算
    • 一般来说，如果分数可以化为有限小数，那么化作小数运算比较方便；如果分数不能化为有限小数，那么只能化作分数运算
  • 乘除混合运算
    • 乘除混合运算属同级运算，按从左往右顺序进行，有括号的先算括号内的
    • 分数、小数的乘除法混合运算，一般将小数化成分数、除法化成乘法进行计算
• 分数与小数的互化
  • 是否能化为有限小数
    • 归纳：一个最简分数，如果分母中只含有素因数2或5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数
  • 小数化分数
    • 有限小数
      • 纯小数
        • 原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要进行约分
      • 混小数
        • 原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来小数部分作分子，原来的整数部分作带分数的整数部分
    • 无限循环小数
      • 纯循环小数
        • 对于纯循环小数化分数，循环节有几位，就在分母上添几个9，并将循环节添在分子上
• 分数的大小比较
  • 分母相同
    • 分子越大，分数越大
    • 分子越小，分数越小
  • 分子相同
    • 分母越大，分数越小
    • 分母越小，分数越大