有理数的运算

这是一篇关于有理数的运算的思维导图，主要内容包括：有理数的乘方，进位制的认识，数学思想，有理数的乘除法，有理数的加减法。

有理数的运算

• 有理数的乘方
  • 乘方
    • 概念
      • n个相同因数的积的运算，叫做乘方
    • 性质
      • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
      • 正数的任何次幂都是正数
      • 0的任何正整数次幂都是0
  • 有理数的混合运算
    • 先乘方，再乘除，最后加减
    • 同级运算,从左到右进行
    • 如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序
  • 科学记数法
    • 概念
      • 把一个大于10的数记成ax10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数 (即1£lal<10)，"是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。
    • 技巧
      • 用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1
      • 把ax10n还原成原数时，只需把a的小数点往右移动n位
  • 近似数
    • 近似数概念
      • 在实际问题中，由“四含五入”得到的数或大约估计的数
    • 易错点
      • 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0近似数
    • 有效数字概念
      • 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字
    • 精确度
      • 表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
  • 典型题例
    • 有关乘方的扩展创新题
      • 考点：乘方运算、错位相减法
      • 设和式为S。 构造乘底数后的等式。 两式相减消项。 化简求S。
    • 有关乘方的扩展创新题
      • 考点：乘方运算、数字规律探究、周期循环规律。
      • 找规律：确定循环节和周期 算余数：用目标项序号除以周期 定结果：依余数找对应数字
    • 近似数的范围问题
      • 考点：近似数、四舍五入法。
      • （1）明确近似数精确位（2）按四舍五入规则，分析“舍”“入”情况（3）确定准确数范围。
    • 有理数乘方与其他知识的综合应用
      • 考点：绝对值非负性、有理数乘方、代数式求值。
      • 据绝对值与平方数非负性得方程，求解字母值，代入代数式算结果。
• 进位制的认识
  • 进位制
    • 是记数和运算的约定系统，“逢几进一” 就是几进制，基数即 “几” 。常见的有十进制、二进制、八进制等。为区分不同进制数，常在数右下角标明基数，十进制数一般不标。
  • 转换类型
    • 位权转换：不同进制位权不同，如十进制位权是10的幂，二进制位权是2的幂，转换时需将原数 位权转换为目标进位制位权。
    • 数符转换：不同进制使用数符不同，转换要把原数 数符转为目标进位制数符。
  • 转换方法
    • 其他进制转十进制：按基数的幂展开求和，各数位数字与对应基数幂相乘再相加。
    • 十进制转其他进制：用商除以基数定余数，余数按位顺排得结果。
• 数学思想
  • 分类讨论思想
    • 理数分类相关：在有理数分类与数轴、绝对值、幂次、加法法则等题目中运用，按有理数性质分类讨论。
    • 绝对值化简求值：如根据a的正负性（a>0、a = 0、a<0 ）分类讨论化简并求值。
  • 转化思想
    • 运算转化：有理数减法转化为加法，除法转化为乘法。
    • 计算转化：如将除法运算转化为乘法运算后，逆用分配律简化计算。
  • 方程思想
    • 幻方
      • 列出等式（有几个未知数列出几个方程）
      • 求解未知数并解方程
• 有理数的乘除法
  • 有理数的乘法
    • 运算法则
      • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
      • 任何数同0相乘，都得0
    • 运算律
      • 交换律
        • axb=bxa
      • 结合律
        • (axb)xc=ax(bxc）
      • 分配律
        • a(b+c)=ab+ac
    • 法则推广
      • 不为 0的数相乘的法则
        • 几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数
        • 负的乘数的个数是奇数时,积为负数
        • 确定积的符号后,再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值
  • 倒数
    • 定义：乘积是1的两个数互为倒数
    • 性质：若a,b互为倒数,则 ab =1 正数的倒数是正数,负数的 倒数是负数,0没有倒数
    • 判定：若ab=1,则a,b互为倒数
  • 有理数的除法
    • 法则
      • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
      • 0除以任何一个不等于0的数得0
  • 裂项求解
    • 解题步骤
      • 寻找规律
      • 求出通项式
      • 相消简化算式
    • 公式
      • n(n + 1)=1/3[n(n + 1)(n + 2)-(n - 1)n(n + 1)]
      • 1/n(n+1)=1/n-1/n+1
      • 1/[n(n+1)]=(1/n) - (1/(n+1))。
• 有理数的加减法
  • 有理数的加法
    • 运算法则
      • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
      • 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较 大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小 的绝对值
      • 互为相反数的两个数相加得0
      • 一个数同0相加，仍得那个数
    • 运算律
      • 加法交换律
        • a+b+b=a
        • a+b+c=c+a+b
      • 加法结合律
        • a+b+c=(a+c)+b
      • 运算技巧
        • 相反数结合法
          • 互为相反数的两个数先相加
        • 同号结合法
          • 符号相同的数先相加
        • 同分母结合法
          • 分母相同(或分母成倍数关系,易化成同分母)的数先相加
        • 凑整法
          • 几个相加得到整数的数先相加
        • 同形结合法
          • 整数与整数、小数与小数先相加
        • 拆分法
          • 带分数相加时,可先拆成整数与分数的和,再分别相加
  • 有理数的减法
    • 运算法则
      • 减去一个正数等于加上一个负数
      • 减去一个负数等于加上一个正数
      • 任何数减去0仍得这个数,0减去一个数等于这 个数的相反数.
  • 典型题例
    • 绝对值与有理数的考察
      • 考点：绝对值的非负性，分类讨论
      • (1)由绝对值定义得字母取值(2).按绝对值性质确定取值组合，(3)计算值。
    • 利用数轴确定有理数的和的符号
      • 考点：数轴、有理数性质、绝对值、有理数运算符号判断。
      • 观察数轴得a、b正负及绝对值大小关系，依有理数运算规则判断选项。
    • 新定义型问题
      • 考点：新定义运算理解、有理数四则运算。
      • 解题步骤：按新运算规则，先算内层，再算外层，代入计算。
      • 易错点：误解新运算规则，运算时符号、计算出错。