空间向量与立体几何

这是一篇关于空间向量与立体几何的思维导图，主要内容包括：空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间向量，空间向量基本定理，空间向量的坐标表示，空间中的位置关系，空间中的度量关系，规律与应用。

空间向量与立体几何

• 空间直角坐标系
  • 为了确定空间中的点的位置，我们可以在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.
  • 在空间直角坐标系O-xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面.
  • 有序实数组(x,y,z)称为点P的坐标，记作P(x,y,z),其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.
    • 在空间直角坐标系中，原点的坐标为O0,0,0),x轴上的点的坐标为(x,0,0)；y轴上的点的坐标为(0,y,0)；z轴上的点的坐标为(0,0,z)；xOy平面内的点的坐标为(x,y,0)；yOz平面内的点的坐标为(0,y,z)；xOz平面内的点的坐标为(x,0,z).
  • • 右手坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
• 空间两点间的距离
• 空间向量
  • 概念
    • 定义
      • 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
    • 模长
    • 零向量
      • 模长为0的向量
        • 方向是任意的
    • 相等向量
      • 模长相等且方向相同的向量
    • 相反向量
      • 模长相等且方向相反的向量
    • 平行向量
      • 平行向量也叫作共线向量
      • 方向相同或相反的向量
        • 相等向量是平行向量
        • 相反向量是平行向量
        • 零向量与任何向量平行
    • 单位向量
      • 模长为1的向量
    • 共面向量
      • 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
    • 位置向量
    • 方向向量
    • 法向量
      • 与平面垂直的直线叫作平面的法线.因此，平面的法向量就是平面的法线的方向向量.
  • 运算
    • 加法
      • 平行四边形法则或三角形法则
        • 交换律
        • 结合律
    • 减法
      • 转化为加法
    • 数乘
      • • • 分配律
    • 数量积
      • 夹角
        • 共起点
      • 运算律
        • 结合律
        • 交换律
        • 分配律
    • 投影
      • 投影向量
      • 投影数量
• 空间向量基本定理
  • 空间向量共线定理
  • 空间向量向量共面定理
  • 空间向量基本定理
• 空间向量的坐标表示
  • 标准正交基
  • 向量的坐标
    • 向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标.
  • 运算
• 空间中的位置关系
• 空间中的度量关系
  • 空间中的角
    • 直线与直线
      • 规定：两条直线平行时，夹角为0
    • 直线与平面
      • 规定：直线平行于平面或直线在平面内，此时直线与平面所成的夹角为0
    • 平面与平面
      • 规定：两个平面平行时，其夹角为0
  • 空间中的距离
• 规律与应用
  • 易错点
    • （1）平面向量的知识在迁移到空间向量的过程中，容易忽略其适用范围.
    • （2）利用向量求二面角时，一般是先求出一个锐角，再根据空间图形的特点，确定具体的二面角大小.
    • （3）空间向量是解决空间几何问题的工具，在具体的解题过程中，容易忽略几何中点、线、面之间的关系而导致错误.
    • （4）建系之前，必须说明建系所需要的三条线是两两垂直
  • 易混点
    • （1）二面角与两个平面所成的角（面面角）是两个概念，其取值范围不同.
    • （2）线线角、线面角、面面角的范围：0o£q£90o
  • 方法技巧
    • 求平面的法向量
      • 解方程组法
        • 因为不定方程组有无数组解，故只求一个特解即可
      • 叉乘法
        • 定义
        • 运算
    • 线面关系
      • 不重合
      • 向量法
        • 两条直线的方向向量平行，则两直线平行
        • 两条直线的方向向量垂直，则两直线垂直
        • 直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行
        • 直线的方向向量与平面的法向量平行，则线面垂直
        • 两平面的法向量平行，则两平面平面
        • 两平面的法向量垂直，则两平面垂直
      • 夹角法
        • 两直线方向向量的余弦值为0，则两直线垂直
        • 两直线方向向量的余弦值为±1，则两直线平行
        • 直线方向向量与平面法向量的夹角余弦值为0，为线面平行
        • 直线方向向量与平面法向量的夹角余弦值为±1，为线面垂直
        • 两平面法向量夹角的余弦值为0，则两平面垂直
        • 两平面法向量夹角的余弦值为±1，则两平面平行
    • 共线与共面
      • 三点共线
      • 四点共面
    • 点到直线的距离
      • 向量法
        • 先求方向向量之间的夹角，再构造直接三角形求解
      • 等面积法
        • 点C到直线AB的距离：
    • 点到平面的距离
      • 向量法
        • 先求方向向量与法向量之间的夹角，再构造直接三角形，利用三角函数的定义求解
      • 等体积法
        • 点D到平面ABC的距离：VD-ABC=VC-ABD
      • 距离公式
    • 基底法
      • 不能直接建系，也不涉及法向量的问题，可以采用基底法