导图社区 七年级上册数学（定版）
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七年级上册数学（定版）
这是一个关于七年级上册数学（定版）的思维导图，结构清晰，层次分明，便于学生系统地掌握七年级上册数学的知识框架和重点内容。
编辑于2025-05-31 16:33:01- 初中数学
- 七年级
- 代数式
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七年级上册数学
7.1数学与我们同行
7.1.1生活 观察
河图洛书
7.1.2活动 思考
月历中的数量关系
设中间数为x 则九宫格中数和为9x
7.1.3交流 表达
规律探索
火柴棒问题
三角形的分割
水温的变化规律
7.2有理数
7.2.1正数与负数
整数的定义
正整数零负整数统称为整数
自然数
零和正整数就是我们熟悉的自然数
正数与负数
像8848.86，4，+40000，1.7这样的数是正数
像-80.97，-6，-10000，-0.6这样数是负数
0既不是正数也不是负数
7.2.2数轴
数轴的概念
画一条水平的直线并在这条直线上取一点表示零，我们把这个点称为原点
规定直线上从原点向右的方向为正方向，向左的方向为负方向
取适当长度为单位长度
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
有理数的大小
在数轴上表示两个数，右边的数比左边的数大
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
不等式的传递性
对于有理数a、b下列三种关系中，有且只有一种成立 a>b 、a=b、a<b
对于有理数a、b、c,如果A大于B且B大于C，那么A大于C 如果A小于B且B小于C，那么A小于C
7.2.3绝对值和相反数
绝对值的定义与性质
一般来说数轴上表示的一个数到原地的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值写作IaI,读作a的绝对值
任何一个数的绝对值都是非负数
相反数的定义与性质
只有符号不同的两个数互为相反数
0的相反数是0
互为相反数的两个数绝对值相等
如果a+b=0,那么a,b互为相反数
根据绝对值比较数的大小
正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0
两个正数绝对值大的正数大 两个负数绝对值大的负数小
7.2.4有理数的加法与减法
有理数的加法法则
同号两数相加取相同符号，并把绝对值相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0.绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一个数与0相加，仍得这个数。
加法运算律 交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
有理数的减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数
7.2.5有理数的乘法与除法
有理数的乘法法则
两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
0和任何数相乘都得0
有理数的乘法运算律 交换律：a*b=b*a 结合律：(a*b)*c=a*(b*c) 分配律：(a+b)*c=a*c+b*c
倒数的定义
一般地如果a*b=1,那么a与b互为倒数关系，其中一个数叫做另一个数的倒数
有理数的除法法则
除以一个不等于0 的数，等于乘以这个数的倒数
所以有理数的除法可以转化为乘法
两个不为0的数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除
0除以一个任何不为0的数都为0
7.2.6有理数的乘方
乘方的定义
求相同因素的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方运算的结果叫做幂，乘方运算的本质上是乘法运算，它是同一个因数运算的简便形式。
乘方的性质
正数的任何次幂都是正数
负数的正负性取决于次数的奇偶性（简记）
平方与立方的定义
一个数的2次方称为这个数的平方
任意一个数的平方都是非负数
一个数的3次方称为这个数的立方
正数的立方是正数，负数的立方是负数
科学计数法初步
一般的一个绝对值大于10的数，可以写成A乘以10的N次方，IaI大于等于1，小于10，N是正整数，这种记数法叫做科学记数法
7.2.7有理数的混合运算
混合运算的运算顺序
先乘方后乘除再加减，如果有括号先进行括号内的运算。
课外阅读——分类讨论
考虑正负性
零点分段法（解多个绝对值组成的方程）
去绝对值时，是否要考虑绝对值内的正负性
考虑奇偶性（负数的N次方）
解分段计费应用题考虑X的不同取值范围
常考题型
1.概念理解类 有理数的分类：考查对整数、分数、正有理数、负有理数、零等概念的理解和分类。例如：把下列各数分别填入相应的集合里：-3，0.5，0，-3.14 有理数集合｛ ｝；无理数集合｛ ｝。 数轴：涉及数轴上点的位置与有理数的对应关系、利用数轴比较有理数的大小等。如：在数轴上表示出-2，0，1.5，-3这几个数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来。 2.运算类 四则运算：有理数的加、减、乘、除运算，包括混合运算。如：计算(-2)+3 - 5x(-2)。 乘方运算：理解乘方的意义并进行相关计算。例如：计算(-2)^3。 科学记数法：将较大或较小的数用科学记数法表示，以及科学记数法与原数的相互转换。如：用科学记数法表示5600000。 3.性质应用类 绝对值的性质：根据绝对值的非负性求字母的值或进行化简 相反数和倒数的性质：利用相反数和为零、倒数积为1的性质解决问题。如：若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求a + b + cd的值。
中考原题
正数和负数 1. （2023•西宁）下列各数是负数的是（ ） 2. （2023•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反。若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做（ ） A. -2km B. -1km C. 1km D. +2km 相反数 1. （2023•鄂州）实数9的相反数等于（ ） 2. （2023•河池）-2022的相反数是 。 绝对值 1. （2023•黔西南州）-3的绝对值是（ ） 2. （2023•聊城）实数a的绝对值是，a的值是（ ） 倒数 1. （2023•盘锦）-6的倒数是（ ） 2. （2023•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a + 3b - 4c的值为（ ） 有理数的大小比较 1. （2023•阜新）在有理数-1，-2，0，2中，最小的是（ ） 2. （2023•郴州）有理数-2，-，0，中，绝对值最大的数是（ ） 有理数的运算 1. （2023•沈阳）计算5 +（-3），结果正确的是（ ） A. 2 B. -2 C. 8 D. -8 2. （2023•玉林）计算：2÷（-2）=
7.3代数式
7.3.1字母表示数
加法交换律
三角形面积公式
S=2/1ab
日期规律
7.3.2代数式的概念
定义
用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式
单独一个数或一个字母也是代数式
性质
一般的,代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化
7.3.3整式的加减
单项式的定义
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式
单独一个数或一个字母也是单项式
单项式的系数的定义
单项式中的数字因数叫做单向式的系数
单项式的次数的定义
单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数
如果一个单项式不含字母，就称它的次数为0
多项式的定义
可以看作几个单项式的和的代数式叫做多项式
多项式中项的定义
多项式中每个单项式叫作多项式的项
像-2的项叫做常数项
多项式中次数的定义
多项式中其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数
整式的定义
单项式和多项式统称整式
降幂排序（书写规范）
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小降幂的顺序排列
同类项
同类项的定义
一般地，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
合并同类项
合并同类项的定义
代数式中的字母表示的是数，因此数的运算律也适用于代数式，根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项
合并同类项的实践
若多项式中有两个同类项的系数互为相反数，则化简时可直接消去这两项
求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再进行计算
合并同类项法则
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
去括号
括号前面是加号，把括号和它前面的加号去掉，括号里各项的符号都不改变
括号前面是减号，把括号和它前面的减号去掉，括号里的各项符号都要改变
整式运算顺序
先去括号
合并同类项
化简
代入求值
常考题型
化简求值题 - 题型特点：给出一个代数式，要求先化简，再代入具体的值进行计算。 - 解题方法：先根据整式的运算法则，如合并同类项、去括号等，对代数式进行化简，然后将给定的值代入化简后的式子求值。 规律探索题 - 题型特点：通过给出一组有规律的代数式，让考生观察、分析其中的规律，并用含字母的代数式表示出来。 - 解题方法：仔细观察所给代数式的变化规律，从系数、次数、符号等方面进行分析，找出与项数之间的关系，进而归纳出一般规律。 代数式的实际应用问题 - 题型特点：结合实际生活情境，给出一些数量关系，要求考生用代数式表示相关的量，并解决一些实际问题。 - 解题方法：首先要理解题意，找出题目中的关键信息和数量关系，然后设出合适的未知数，根据数量关系列出代数式，最后根据题目要求进行计算或分析。 整式的运算题 - 题型特点：主要考查整式的加、减、乘、除运算，包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的运算等。 - 解题方法：熟练掌握整式运算的法则和公式，按照运算顺序进行计算。在计算过程中，要注意符号的变化和同类项的合并。
中考真题
一、单选题 1. （2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（ ） - 本题考查单项式与单项式的乘法运算。 2. （2024·河南·中考真题）计算(a^{2})^{3}\cdot a^{4}的结果是（ ） - 考查乘方的含义，幂的乘方运算。 3. （2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ） - 涉及合并同类项，幂的运算。 4. （2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（ ） - 考查整式的运算，包括合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法。 5. （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（ ） - 考查积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除的运算。 6. （2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：a^{2}，3a^{4}，5a^{6}，7a^{8}，，第n个代数式是（ ） - 考查数列的规律变化。 二、填空题 1. （2024·新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需______元。 - 考查用代数式表示实际问题中的数量关系。 2. （2024·江西）观察a、a^{2}、a^{3}、a^{4}、…，第100个式子为______。 - 考查简单的数字规律。 3. （2024·四川雅安）纸杯叠放问题中，总高度H = h + an（h是杯子底部到杯沿底边的高，a是杯沿高，n是杯子数量），这里的H = h + an是______（填“整式”“分式”或“根式”）。 - 考查代数式的分类。 4. （2024·甘肃）已知a - b = 3，ab = 10，则a^{2}+b^{2}=______。 - 考查完全平方公式的变形应用。 三、解答题 1. （2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：(x + 3)^{2}-(x + 1)(x - 1)-2(2x + 4)，其中x =-\frac{1}{2}。 - 考查整式的混合运算及化简求值。 2. （2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：(2a - b)^{2}-(a + 1 - b)(a + 1 + b)+(a + 1)^{2}，其中a=\frac{1}{2}，b = -2。 - 考查整式的化简求值，涉及完全平方公式和平方差公式的应用。 3. （2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：[(a + 2b)(2a - b)-(2a + b)(a - 2b)]，其中a = 2，b = -1。 - 考查整式的混合运算与化简求值。
7.4一元一次方程
7.4.1等式与方程
等式的定义
表示相等关系的式子叫做等式
如a=b，2 x=3 y
等式的基本性质
等式两边都加上或减去同一个数或整式所得结果仍然是等式
等式两边都乘或除以同一个数除数不能为零，所得结果仍是等式
未知数的定义
在上面的等式中都是用字母表示要求的未知的量这样的字母叫做未知数
方程的定义
含有未知数的等式叫做方程
方程的解的定义
只能是方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解
解方程的定义
求方程的解的过程叫做解方程
方程的意义
方程是解决实际问题的常用工具，我们根据实际问题中的等量关系列出方程后，还需要进一步求出未知数的值
7.4.2一元一次方程及其解法
一元一次方程的定义
等号两边都是整式.且只含有一个未知数.未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程
解一元一次方程
移项的定义与依据
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移向另一边，这样的变形叫做移项
因为等式的基本性质1中说到等式两边都加上或减去同一个数或整式所得结果仍是等式，所以解方程时可以使用移项
去括号的依据
去括号法则
去分母的依据
等式的基本性质2等式两边乘或除以一个不为零的数等式仍然成立
总结解一元一次方程的步骤
去分母
等式的基本性质2
去括号
去括号法则
移项
等式的基本性质1
合并同类项
合并同类项法则
系数化一
等式的基本性质2
得到x=c的形式
7.4.3用一元一次方程解决问题
解一元一次方程的基本步骤
审
找
设
列
解
验
答
常见的问题类型1--画示意图解决问题
行程问题
工程问题
追击问题
销售问题
常见的问题类型2--列表格解决问题
鸡兔同笼问题
工程问题
分段计费问题
课外阅读拓展
丢番图的墓志铭
以其年龄为x岁找出等量关系可得出其年龄与结婚时的年龄
数学探究
日历中的方程问题
同学通过给出日历中随机三个数列横列的数的和。来求出这3个数
同学通过给出日历中随机一个十字形框里的数的和。来求出这5个数
常考题型
解方程 - 直接给出一元一次方程，要求考生按照解方程的步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，求出方程的解。例如：解方程3x + 5 = 2x - 1。 根据实际问题列方程并求解 - 行程问题：涉及路程、速度和时间的关系，根据题目中的条件，找出等量关系列方程。如：甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，那么几秒后两人相遇？ - 工程问题：通常把工作总量看成单位“1”，根据工作效率、工作时间和工作量之间的关系列方程。例如：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作需要多少天完成？ - 销售问题：涉及进价、售价、利润、利润率等概念，利用利润=售价-进价，利润率=\frac{利润}{进价}\times100\%等关系列方程。如：某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5\%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？ 方程的应用与方案选择 - 给出不同的方案，让考生通过列一元一次方程计算出在不同情况下的结果，然后进行方案的比较和选择。例如：某班要举办一次篮球比赛，比赛的票价是每张5元，一次购买30张以上（含30张），每张票可少收1元。该班有27名同学去观看比赛，当班长小明准备去买27张票时，小亮同学却说买30张票合算些，你认为呢？请说明理由。 含参数的一元一次方程问题 - 方程中含有参数，根据方程的解的情况或其他条件来确定参数的值。例如：已知关于x的方程3x - 2a = 5x + a的解是x = 3，求a的值。或者给出方程有唯一解、无解、无数解等条件，让考生求参数的取值范围。 同结构方程 -观察方程中的式结构，通过替换未知数以达到求得解的目的
7.5走进几向世界
7.5.1观察 抽象
几何体的基本要素
点
线
面
面数棱数顶点数之间的数量关系
在简单多面体中，面数、棱数、顶点数之间存在着欧拉公式：V+F - E = 2，其中V表示顶点数，F表示面数，E表示棱数
例如，正方体有8个顶点、6个面和12条棱，代入公式可得8 + 6 - 12 = 2；三棱柱有6个顶点、5个面和9条棱，6 + 5 - 9 = 2，均符合该公式。
对现实世界的抽象提取几何体
7.5.2运动 想象
几何体的形成
点动成线
线动成面
面动成体
图形运动的规律
旋转
平移
翻折
图形三大变换
7.5.3转化 表达
平面直观图
通过不同角度观察一个物体来形成对这个几何体的直观图
使用平面展开图研究一个空间几何体
数形结合
连续奇数的相加，我们可以通过正方形来表示
通过数轴来表示数
通过数形结合解决方程问题
7.6平面图形的初步认识
7.6.1直线 射线 线段
直线的写法
我们可以用直线上的2点来表示这条直线记作直线AB或直线BA 也可以记作直线l
射线的写法
和直线表示类似，射线可以记作射线ab其中点a可以是射线的端点
线段的写法
线段可以记作线段AB或线段BA，也可以记作线段a
有关直线的基本事实
过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线 所以得出一个基本事实：两点确定一条直线
有关线段的基本事实
2点之间的所有连线中线段最短
距离的定义
两点之间线段的长度叫做两点之间的距离
线段的长短
与有理数的大小类似。三种关系中只有一种成立，分别是A>B，A<B，A=B
尺规作图，截取相等长度
把圆规的两脚间放在点ab上，然后移动圆锥是圆锥的一个角尖与点a1撇重合与另一个脚尖在射线AC1撇上截取点即为b1撇线段ab1撇即为所求
以七上数学书批158页题目为例
中点的定义
如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫做这条线段的中点
7.6.2角
角的概念与度量
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
角的表示方法
以端点为名称或者用射线的端点为名称
当端点被两个角共用时，无法用端点来表示某个角
用希腊字母代表
用角一角二代表
角的度量单位
度
分
秒
角的度量单位换算
一度可以转化为60分，一分可以转化为60秒
等角的概念
如果两个角的度数相等，那么也称这两个角相等简称等角
补角 余角
补角的定义与性质
如果两个角的度数之和等于180度那么这两个角互为补角
同角的补角相等
余角的定义与性质
如果两个角的度数之和等于90度，那么这两个角互为余角
同角的余角相等
角的大小比较
尺规作图作等角
角平分线
角平分线的定义
如果从角的顶点出发了一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线
角平分线的拓展性质
邻补角的角平分线互相垂直
角的大小比较类似于线段的大小比较仅有三种关系成立，并且有且只有一种成立
角1<角2。
角1=角2
角1>角2
不等式传递性的体现
课外拓展
台球中入射角等于反射角
7.6.3相交线
对顶角的定义与性质
两条直线所相交成的4个角中有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角
两直线相交，对顶角相等
垂直
垂直的组成
垂线
如果两条直线相交所成的4个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
垂足
它们的交点叫做垂足
有关垂直的基本事实
在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线段
垂线段的定义性质
过直线ly1点p作l的垂线垂足为o线段po叫做点p到直线l的垂线段（以图6-35为例）
性质一直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
直线外一点到这条线段的垂线段的长度叫做点到直线的距离
7.6.4平行线
平行线的概念
定义
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
平行线基本事实1
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的判定与性质
同位角的定义
以教材图6-45两条直线a，b第3条直线c所截形成8个角，具有角1和角2这样位置关系的一对角叫做同位角在图6-45中角3和角4，角5和角六，角7和角8，分别是同位角。
平行线基本事实2
两条直线被第3条直线所截。如果同位角相等，那么两直线平行，简单说成同位角相等，两直线平行
内错角与同旁内角的定义
如教材图6-49具有角4和角5这样位置关系的一对角叫做内错角，具有角二和角五这种位置关系的一对角叫做同旁内角
平行线的判定定理
两条直线被第3条直线所截。如果内错角相等，那么这两条线平行简单说成内错角相等两直线平行
两条直线被第3条直线所截。如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成同旁内角互补两直线平行
拓展
平行线的传递性
当a平行于b，c平行于b，那么c与a不是平行就是重合
此性质，无论在平面或空间都符合
平行线的画法
尺规作图
课外阅读拓展
如何证明两直线平行同位角相等
运用反证法，另同位角不相等而直线不平行，假设不成立，所以两直线平行同位角相等
7.12定义 命题 证明
平行线的模型
猪蹄模型
铅笔头模型
骨折模型
平行线的性质与判定的基本应用 - 给出图形，已知一些角的关系，判断两直线是否平行。例如：已知∠1 = ∠2，判断直线AB与CD是否平行。 - 已知两直线平行，求相关角的度数。如：已知AB\ CD，∠1 = 120°，求∠2的度数。 平行线与三角形等图形的综合应用 - 在三角形中，结合平行线的性质求角的度数。例如：在△ABC中，DE\parallel BC，∠A = 50°，∠BDE = 70°，求∠C的度数。 - 利用平行线分线段成比例定理解决与三角形相似相关的问题。如：已知DE\BC，AD:DB = 2:3，BC = 10，求DE的长。 平行线中的动态问题 - 点或线在平行线上运动，研究相关角的变化规律或数量关系。例如：点P在直线AB上运动，CD\AB，探究∠CPD与∠PCD、∠PDB之间的关系。 - 图形的平移与平行线相结合，求平移的距离或相关图形的面积等。如：将一个三角形沿平行于某条边的方向平移，已知平移前后的一些条件，求平移的距离以及重叠部分的面积。 平行线的证明题 - 要求考生根据已知条件，运用平行线的判定定理和性质定理进行逻辑推理，证明两直线平行或角的相等关系等。例如：已知∠1 + ∠2 = 180°，∠3 = ∠B，求证DE平行 BC。 平行线在实际生活中的应用 - 以实际场景为背景，如建筑测量、道路设计等，利用平行线的知识解决问题。例如：在修建公路时，需要根据给定的角度和已有的平行道路，确定新道路的走向，计算相关角度。
7.6.5多边形
内角的定义
多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角
外角的定义
多边形的边与它相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
三角形的一个内角加对应的外角等于三角形的内角和
对角线的定义
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
正多边形的定义
各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形
中考考点
线与角 - 线段、射线、直线：包括三者的区别与联系、基本性质（两点确定一条直线、两点之间线段最短）、线段的度量与比较、线段的和差及中点等概念。 - 角：角的定义、表示方法、度量单位及换算，角的分类，角的比较与运算，角平分线的概念。 - 余角、补角、对顶角：余角和补角的定义与性质，同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等；对顶角的定义与性质，两直线相交，对顶角相等。 相关概念 - 相交线的定义：两条直线有且仅有一个公共点，这个点称为两条直线的交点。如判断直线AB与直线CD是否相交。 - 邻补角：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。性质是邻补角互补，可用于角度计算和证明。如已知一个角的度数，求其邻补角的度数。 - 对顶角：两条直线相交，相对的两个角。性质是对顶角相等，常应用于简化角度计算和判断角的关系。如根据对顶角相等，由已知角推出其他角的度数。 特殊相交线 - 垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。相关性质有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。考点包括利用垂线性质求角度、证明线段垂直等。 三线八角 - 同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，同位角是在两条直线的上方（或下方），又在截线的同侧的两个角；内错角是在两条直线之间，又在截线的两侧的两个角；同旁内角是在两条直线之间，又在截线的同侧的两个角。常考查识别这些角以及根据它们的关系判断两直线的位置关系。