第14章 全等三角形

这是一篇关于第14章 全等三角形的思维导图，主要内容包括：14.1 全等三角形及其性质，14.2 三角形全等的判定，14.3 角的平分线，全等三角形常见的七大几何模型。

第14章 全等三角形

• 14.1 全等三角形及其性质
  • 无子目
    • 1 全等形的概念
      • 定义：
        • 能够完全重合的两个图形叫做全等形．
      • 提示
        • （1）全等形的形状相同，大小相等． （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合。
    • 2 全等三角形的概念和表示方法
      • 1.全等三角形的概念：
        • 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
      • 2.全等三角形的对应元素：
        • ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．
      • 3.全等三角形的表示方法：
        • “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
    • 3 全等三角形的性质
      • 1.性质：
        • 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．  
      • 2.数学语言表示：
        • △ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
      • 3.全等三角形其他性质：
        • 由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
• 14.2 三角形全等的判定
  • 无子目
    • 1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）
      • 1.边边边
        • 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
    • 2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）
      • 1、边角边
        • 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
    • 2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）
      • 1、边角边
        • 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．
        • 如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
    • 3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）
      • 1、角边角
        • 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
      • 1、角边角
        • 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
    • 4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）
      • 1、角角边
        • 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
    • 5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）
      • 1、斜边、直角边
        • 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
      • 2.数学语言表达：
        • 如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 
• 14.3 角的平分线
  • 无子目
    • 1 作已知角的平分线
      • 1、做法
        • 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求．
      • 2、依据
        • 如图所示：  ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
    • 2 角的平分线的性质
      • 1、内容
        • 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
      • 2、图示
        •  如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
    • 3 角的平分线的判定
      • 1、内容
        • 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
      • 2、图示
        •  如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
• 全等三角形常见的七大几何模型
  • 1 平移模型
    • 1、【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合. 
    • 2、【解题思路】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等.
  • 2 翻折模型
    • 1、【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合. 
    • 2、【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等; ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等.
  • 3 手拉手模型
    • 1、【模型解读】个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 
    • 2、【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。
  • 4 半角模型
    • 1、【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 
    • 2、【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系
  • 5 一线三等角模型
    • 1、【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3. 
    • 2、【解题思路】 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS或 ASA 证明三角形全等。
  • 6 倍长中线模型
    • 1、【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的. 
    • 2、【解题思路】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD.
  • 7 截长补短模型
    • 【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知 线段. 
    • 【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。