第15章 轴对称

这是一篇关于第15章 轴对称的思维导图，主要内容包括：15.1 图形的轴对称，15.2 画轴对称的图形，15.3 等腰三角形。

第15章 轴对称

• 15.1 图形的轴对称
  • 15.1.1轴对称及其性质
    • 1 轴对称图形与对称轴
      • 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
      • 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
    • 2 两个图形成轴对称
      • 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
    • 3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质
      • （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
      • （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
  • 15.1.2线段的垂直平分线
    • 1 线段垂直平分线的定义及性质
      • 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。  如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
      • 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
    • 2 线段垂直平分线的判定
      • 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
      • 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。
    • 3 作已知线段的垂直平分线
      • 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 
• 15.2 画轴对称的图形
  • 无子目
    • 1 轴对称变换
      • 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。
      • 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。
    • 2 作轴对称图形
      • 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
      • 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形.  （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求.
    • 3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点
      • 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y).
      • 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形.
• 15.3 等腰三角形
  • 15.3.1 等腰三角形
    • 1 等腰三角形的性质
      • 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
      • 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.  在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”. 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
    • 2 等腰三角形的判定
      • 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
      • 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
    • 3 作一个等腰三角形
      • 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形.  作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
  • 15.3.2 等边三角形
    • 1 等边三角形的性质
      • 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
    • 2 等边三角形的判定
      • 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
    • 3 含30°角的直角三角形的性质
      • 1、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
      • 2、证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论.