导图社区 第三章 线性方程组
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组)。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。
社区模板帮助中心，点此进入>>
论语孔子简单思维导图
《傅雷家书》思维导图
《童年》读书笔记
《茶馆》思维导图
《朝花夕拾》篇目思维导图
《昆虫记》思维导图
《安徒生童话》思维导图
《鲁滨逊漂流记》读书笔记
《这样读书就够了》读书笔记
妈妈必读：一张0-1岁孩子认知发展的精确时间表
第三章 线性方程组
消元法（矩阵的初等变换法）
具体解方程组
步骤
1️⃣用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组
2️⃣结论
最后一个等式是零等于一个非零数，方程组无解
阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，有唯一解
阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，方程组有无穷多个解
相关概念
初等变换
用一个非零的数乘某一个方程
把一个方程的倍数加到另一个方程
互换两个方程的位置
阶梯形方程组
n维向量空间
分量定义
所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组（a1，a2，…an），ai称为向量（a1，a2，…an）的分量。
向量相关概念
向量相等
向量的和
交换律
结合律
零向量
负向量
数量乘积
n维向量空间定义
以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘积，称为数域P上的n维向量空间
线性相关性
线性组合
成比例关系，如a=kb，
零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0）
线性表出
定义
一个向量a是向量组b1，b2…的一个线性组合时，向量a可以经向量组b1，b2…线性表出
关系
如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价
特征
自反性
每一个向量组都可以经它自身线性表出
对称性
传递性
线性相关
定义1⃣️：向量组中有一个向量可由其他的向量线性表出
定义2⃣️：有数域P中不全为零的数，k1，k2…使k1a1+k2a2…=0
结论
如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关
若向量组a1，a2…中每一个向量可以由向量组b1，b2…线性表出，则a1，a2…可以由b1，b2…线性表出
若向量组a1，a2…与向量组组b1，b2…互相线性表出，则称这两个向量组等价
线性无关
定义1⃣️：由k1a1+k2a2+…=0可以推出k1=k2=…=0
定义2⃣️：没有不全为零的数，k 1 ，k 2 …使k 1 a 1 +k 2 a 2 …=0
如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关
线性无关的向量组一定不能包含两个成比例的向量
判定定理
判断一个向量组是否线性相关➡️方程组是否有解
定理2
设向量组a1，a2…可以由向量组b1，b2…线性表出，如果r>s，则a1，a2…一定线性相关
推论1
如果向量组a1 ，a2…可以经向量组b1 ，b2…线性表出，且a1 ，a2…线性无关，那么r≤s
推论2
任何n+1个n维向量必线性相关
推论3
两个线性无关的等价的向量组，必有相同个数的向量
极大线性无关组
一向量组的一个部分组满足：
1⃣️部分组本身线性无关
2⃣️从向量组中任意添一个向量，所得的部分向量组都线性相关
定理
任何一个极大线性无关组都与向量组本身等价（向量组与它的任意一个极大线性无关组等价）
一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的
一向量组的极大线性无关组都含有相同個數的向量
秩（rank）
向量组的极大线性无关组所含向量的个数
相关结论
一向量组线性无关↔️它的秩与它所含向量的个数相同
全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定这样的向量组的秩为零
若向量组A可以由向量组B线性表出，则A的秩≤B的秩
等价的向量组必有相同的秩
矩阵的秩
相关定义
行秩
行向量组的秩
列秩
列向量组的秩
k级子式
在一个s✖️n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k²个元素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式
矩阵的行秩与列秩相等
行列式为0↔️A的秩小于n
齐次线性方程组有非零解↔️它的系数矩阵的行列式等于0
一矩阵的秩是r↔️矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零
线性方程组有解判别定理
线性方程组有解↔️它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩
判别定理推论：当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解
线性方程组解的结构
齐次线性方程组x1α1+x2α2…=0解所成的集合具有两个重要性质
①两个解的和还是两个方程组的解
②一个解的倍数还是方程组的解
基础解系所含解的个数=n-r，即自由未知量的个数
二元高次方程组
