8 数列

高考数学数学，梳理了数列相关的多个重要知识点，结构清晰，内容详尽，涵盖数列的基本概念、性质、求和技巧、不等式放缩及数列与函数的关系等方面超详细知识点与解题技巧笔记，

❽数列

• 简要目录： 1.等差、等比数列的基本公式 2.等差、等比数列的基本性质 3.数列求和技巧 3.1.并项求和法 3.2.分组求和法 3.3.错位相减法 3.4.裂项相消法 4.蛛网图 5.数列求通项技巧 5.1.一阶线性递推 5.2.二阶线性递推(特征根法) 5.3.分式结构递推(不动点法) 6.数学归纳法 7.数列不等式的放缩 8.周期数列 9.数列函数属性 10.用切线法求数列的和 11.Sₙ=lnn! 12.杨辉三角
• 1. 等差、等比数列的基本公式
  • 1.1. 等差数列
    • 通项公式
      • • 母项的位次+操作次数=子项的位次
    • 前n项和公式
      • • 用倒序相加法推导
        • 二次函数很好解释, 通项公式割补出一次函数再积分即得
    • 判断方法
  • 1.2. 等比数列
    • 通项公式
      • • 母项的位次+操作次数=子项的位次
    • 前n项和公式
      • • 推导方法
          • 错位相减法
          • 大除法
          • 定义法(糖水法)
            • 子去头,母去尾
          • 方程法
            • 隔首提q
          • 累加法
            • 累加→括内提q,则隔首提公因式(q-1)
    • 判断方法
  • 1.3. 部分手写笔记
• 2. 等差、等比数列的基本性质
  • 2.1. 等差数列的常用性质
    • 下标和二元平均性质
      • 推论
        • 若总项数为奇数,则所有项之和=总项数×中项 (类似于中矩形公式)
          • • eg.S₇=7a₄,S₉=9a₅,…
    • 下标和n元平均性质
    • 前n项和性质
      • • S比标等差d杠2
        • • 充分性证明
          • 必要性证明
    • 片段和性质
      • 把等差数列划分成多个长度为m的片段, 片段的公差为m²d
        • 等差m片段m方d
  • 2.2. 等比数列的常用性质
    • 下标和的二元平均性质
    • 下标和的n元平均性质
    • 片段和性质
      • 把等比数列划分成多个长度为m的片段, 片段的公比为qᵐ
      • 等比m片段q指m
• 3. 数列求和技巧
  • 3.1. 倒序相加法
    • 若数列中与首尾两项等距离的两项的和相等, 则用倒序相加法求前n项和
  • 3.2. 并项求和法
  • 3.3. 分组求和法
    • 若aₙ=bₙ±cₙ,且{bₙ},{cₙ}为等差数列或等比数列, 可采用分组求和法求{aₙ}的前n项和
  • 3.4. 错位相减法
    • 等比数列的前n项和求法
      • 等式两边同×q后错位相减
    • 差比数列前n项和
      • 对于等差×等比型数列,先错位后相减
      • 提取差比通项部分,差n个,比少1个; 求和为小写变大写,差比数相等,-B, A为子a,B为子b-A,母均为q-1
    • 形如aₙ=n²·2ⁿ的数列{aₙ}的前n项和
      • 需要使用两次错位相减
  • 3.5. 裂项相消法
    • 利用待定系数法处理差比数列
    • 利用待定系数法处理幂比数列 (比用错位相减简单,一次就够了)
      • aₙ=n²·2ⁿ→f(n)=(an²+bn+c)·2ⁿ
      • aₙ=n³·2ⁿ→f(n)=(an³+bn²+cn+d)·2ⁿ
      • 推广
        • aₙ=nᵐ·kⁿ→f(n)=(anᵐ+bnᵐ⁻¹+cnᵐ⁻²+…)·kⁿ
      • 先通过递推式解得系数得到f(n), 再用累加法得到前n项和
    • 裂项相消求和的基本原理
      • 一阶裂项相消求和
        • aₙ=f(n+1)-f(n) →Sₙ=[f(2)-f(1)]+[f(3)-f(2)]+…+[f(n)-f(n-1)]+[f(n+1)-f(n)]=f(n+1)-f(1)
      • 二阶裂项相消求和
        • aₙ=f(n+2)-f(n) →Sₙ=[f(3)-f(1)]+[f(4)-f(2)]+…+[f(n+1)-f(n-1)]+[f(n+2)-f(n)]=f(n+2)+f(n+1)-f(2)-f(1)
      • k阶裂项相消求和
        • aₙ=f(n+k)-f(n) →Sₙ=[f(1+k)-f(1)]+[f(2+k)-f(2)]+…+[f(n-1+k)-f(n-1)]+[f(n+k)-f(n)]=f(n+k)+f(n+k-1)+f(n+k-2)+…f(n+2)+f(n+1)-f(k)-f(k-1)-…-f(2)-f(1)
      • 此处的阶数的意思是各多少个单位两两抵消
    • 分式裂项
    • 根式裂项
      • 母合子一平方差
    • 分指裂项
      • • 配n+1项时消n,配n项时消n+1
      • • 凑n项与n+1项
      • • 配n+1项时消n,配n项时消n+1
    • ①看到通项公式aₙ为分式型,分母为一次型(即等差型)、指数型、根式型等; ②用裂项相消法求前n项和.
      • (部分分母需要先因式分解(比如十字相乘)才能裂项)
    • 求平方和
      • 展开相邻立方之差来裂项
    • 求立方和
      • 展开相邻四次方之差来裂项, 出现的平方和部分套平方和公式
• 4. 蛛网图
  • 4.1. 数列与函数单调性的关系
    • 数列在区间D上单调是对应函数在该区间单调的必要不充分条件
  • 4.2. 迭代数列蛛网图
    • • y=f(x)
    • 迭代函数与回弹线的交点为不动点
      • 没有交点也有不动点,此时不动点在复数域
  • 4.3. 蛛网作图法的本质
    • 将离散的数列用函数将其连续化(简称数列的连续化、数列函数化)
    • 在不可能连续代入算值时, 用清晰的函数图像走势来得到数列的单调性等各种结果, 其本质就是数列的图像化
  • 4.4. 迭代数列单调性定理
    • 若迭代数列在区域D内对应的迭代函数图像始终位于回弹线的上方,则该数列在区域D内单调递增;
    • 若迭代数列对应的初始点与不动点重合,则该数列是一常值数列;
    • 若迭代函数单调递减且与回弹线交于点(x₀,x₀),则数列{aₙ}的奇偶数项单调性相反且分别位于x₀的两侧.
  • 4.5. 单调性对图象的影响
    • f(x)的↗区间为右上阶梯
    • f(x)的↘区间为回环
      • 从交点左侧起,顺时针回环
      • 从交点右侧起,逆时针回环
      • 以-45°为基准,两交-a线同倾, 左/右起稍倾向内/外回环, 左/右起过倾向外/内回环, 同为-45°则为闭环
        • 稍倾者比另者倾斜程度小, 过倾者比另者倾斜程度大
      • 交-a线更过内,更稍外
      • 只存在闭环、向内回环和向外回环, 不存在混合情况! 因此闭/内/外可以用假设极限情况来推导
  • 4.6. 若迭代数列f(x)在区间D上单调递增且a₂＞a₁, 则数列{aₙ}在上述区间必单调递增 反之,若a₁＞a₂,则{aₙ}单调递减
  • 4.7. 迭代数列的极限
    • 迭代数列若有极限值,其极限值必是其不动点 (向外回环不收敛,即发散)
  • 4.8. 蛛网图与线性递推
• 5. 数列求通项技巧
  • 5.1. 一阶线性递推
    • 我们把“数列{aₙ}满足递推式aₙ₊₁=paₙ+f(n)(p≠0), 求数列{aₙ}的通项公式”的问题, 称为一阶线性递推问题.
    • 递推求通项的基本逻辑
      • 对原数列进行代数变形, 构造出一个等比数列或等差数列或常数列, 通过求新构造数列的通项公式得到原数列的通项公式
    • 一般思路
      • 把f(n)拆成g(n+1)-pg(n), 得到{aₙ-g(n)}的通项公式, 进而得到{aₙ}的通项公式
    • 累加法
    • 累乘法
    • 带提示的构造法
      • ①若题干给出数列{aₙ}的递推公式,让我们先证明与aₙ有关的某数列为等差数列或等比数列,再求{aₙ}的通项公式; ②这类题给出要证明的结论,其实就是提示该如何去构造新的等差等比数列,只要完成了证明,就能代等差、等比数列的通项公式; ③先求出构造的新数列的通项,进而求得aₙ.
    • 待定系数法
      • aₙ₊₁=paₙ+q
        • aₙ₊₁-λ=p(aₙ-λ)
      • aₙ₊₁=paₙ+qn+r
        • aₙ₊₁-[A(n+1)+B]=p[aₙ-(An+B)]
          • (1-p)A=q, (1-p)B+A=r
      • aₙ₊₁=paₙ+qⁿ
        • aₙ₊₁-λqⁿ⁺¹=p(aₙ-λqⁿ)
          • λ(q-p)=1
    • 同除变换法
      • aₙ₊₁=paₙ+qⁿ
      • aₙ-aₙ₊₁=aₙaₙ₊₁
      • (n+2)²aₙ=(n+1)²aₙ₊₁
    • 倒数变换法
      • • • • A=1,B=2
    • 取对数法
      • • 次数不等时使用
  • 5.2. 二阶线性递推(特征根法)
    • • ①解特征方程得两根; ②代入两根构造等比数列; ③两根相等则满足通项差比,不等则满足通项双比
    • λ=μ时
      • aₙ=(An+B)λⁿ
        • • A为比首比λ方,B为2首比λ-第2比λ方
    • λ≠μ时
      • aₙ=Aλⁿ+Bμⁿ
        • • 一丨对换
    • 二阶线性递推的题目一定会先给出头两项来确定初始值(因为知道(x,y)才能得到z)(其图象为在三维空间的二元函数上的一个截痕)
      • 二阶线性递推是三维的情况,其特征曲面的回弹性质不明,猜测是三维降维到二维时得到了特征根,此路暂不通
    • ①用待定系数法构造等比数列; ②设特征方程; ③设韦达的两根和积,说明两待定系数为特征方程两根; ④等比第n-1式右侧累乘退回首位; ⑤(i)两根相等,同除得等差数列,等差式右侧累加退首,去左边分母得通项差比; (ii)两根不等,为带上头两项加一新元构造新数列并累乘迭代,进而确定新元,随后确定等比式后再累乘迭代,得通项双比
    • 两根地位相同,可以互换
    • 构造出等比数列是等系数型 若题目只给了某两个不相邻项aᵢ,aⱼ的值(i＜j), 则使用累加法处理得到和aᵢ有关的通项, 代入aⱼ得到通项公式,就可以算某一项的具体值了
  • 5.3. 分式结构递推(不动点法)
    • • →一阶线性递推求通项
    • • Δ=0
      • Δ＞0
      • Δ＜0
        • 拓展到复数域,根据虚数作积旋转, 可考虑数列{aₙ}为周期数列
    • ①解不动点方程得两根; ②两根分别代入回原方程得到两个同构的二次式; ③递推式左右同减一根,并用②消成项减根型; ④(i)Δ=0,消系数之根,取倒数,配凑消去子上隐母得到等差, (ii)Δ＞0,用分式把两同构式相除得到等比; (iii)Δ＜0,考虑是否为周期函数
• 6. 数学归纳法
  • 6.1. 证设推得
  • 6.2. 在证明一些数列相关问题时, 如果直接证明不太好证明, 可以考虑使用数学归纳法证明, 这是证明数列相关问题的一种独特的方法
  • 6.3. 步骤
    • ①证明当n=n₀(n₀∈N*)时命题成立
    • ②假设当n=k(k∈N*,k≥n₀)时命题成立,推出当n=k+1时命题也成立
      • 在第二步证明当n=k+1时命题也成立的过程中,需要用到假设当n=k(k∈N*)时命题也成立
    • ③综合前两步可得,命题对所有从n₀开始的正整数都成立
  • 6.4. 本质
    • 通过第一步进行归纳奠基之后,再通过第二步进行归纳递推,从而证明问题
• 7. 数列不等式的放缩
  • 7.1. 如果要证明数列{aₙ}的前n项和Sₙ满足Sₙ＞m(或Sₙ＜l), 我们考虑直接证明以及数学归纳法,如果这两种方法解决不了, 我们还可以考虑寻找辅助数列{bₙ}(或{cₙ}),使得aₙ≥bₙ,Sₙ≥b₁+b₂+…+bₙ＞m(或aₙ≤cₙ,Sₙ≤c₁+c₂+…+cₙ＜l)
  • 7.2. 项放缩→前n项和放缩
  • 7.3. 分组放缩
    • 先把数列{aₙ}的前n项和Sₙ分成若干组,再对每组单独确定放缩或不放缩
    • 等分放缩
      • 每组放缩后的值都相等
  • 7.4. 等比放缩
    • 弊端
  • 7.5. 裂项放缩
    • 所构造的辅助数列是可以裂项相消求和的数列的放缩方式称为裂项放缩
    • 分式裂项放缩
    • 根式裂项放缩
    • 指分结构裂项放缩
  • 7.6. 基本不等式放缩
    • 如果数列{aₙ}的某些项的和符合基本不等式的形式, 可以直接利用基本不等式来进行放缩, 这种放缩方式称为基本不等式放缩
  • 7.7. 递推放缩
    • 如果题目只给了递推关系式aₙ₊₁=f(aₙ), 而根据这个递推关系式没办法直接求出{aₙ}的通项, 然而又需要我们证明一个不等式, 此时就需要直接利用递推关系式aₙ₊₁=f(aₙ)构建一个放缩式.
      • 这种利用题目中给出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩.
    • 两种处理思路
      • ①写出递推关系式aₙ₊₁=f(aₙ),然后通过恒等变形得到放缩式(一阶型)
      • ②写出aₙ₊₁=f(aₙ),aₙ=f(aₙ₋₁),然后将aₙ₊₁=f(aₙ),aₙ=f(aₙ₋₁)这两个关系式进行加减乘除,再恒等变形得到放缩式(二阶型)
  • 7.8. 函数放缩 (利用蛛网图放缩)
    • 先利用导数研究单调性得到函数相关结论, 再进行放缩.
  • 7.9. 大多数情况下数列放缩都是要在保证不等号方向不变的前提下(某些恒等变形除外),向能进行数列求和的方向放缩
• 8. 周期数列
  • 8.1. 周期数列的定义
  • 8.2. 周期数列在数列求和中的应用
    • 如果数列{aₙ}满足aₙ=f(n)·cₙ+g(n), 其中数列{cₙ}是周期为T的周期数列, 则在求数列的前n项和Sₙ时, 把每T项并项后再求和比较快.
  • 8.3. 周期数列在递推式为aₙ₊₁=(-1)ⁿaₙ+f(n) 的数列求和中的应用
    • 如果数列{aₙ}满足aₙ₊₁=(-1)ⁿaₙ+f(n), 则a₄ₖ₋₃+a₄ₖ₋₂+a₄ₖ₋₁+a₄ₖ=f(4k-3)+f(4k-1),k∈N₊, 即在求数列{aₙ}的前n项和Sₙ时,把每4项并项后再求和比较快.
    • 指为n,少三+少一
    • 这两种类型类周期均为4
  • 8.4. 周期数列在递推式为aₙ₊₁=(-1)ⁿ⁺¹aₙ+f(n) 的数列求和中的应用
    • 如果数列{aₙ}满足aₙ₊₁=(-1)ⁿ⁺¹aₙ+f(n), 则a₄ₖ₋₃+a₄ₖ₋₂+a₄ₖ₋₁+a₄ₖ=f(4k-1)+2f(4k-2)-f(4k-3),k∈N₊, 即在求数列{aₙ}的前n项和Sₙ时,把每4项并项后再求和比较快.
    • 指为n+1,少一+2少二-少三
• 9. 数列函数属性
  • 9.1. 数列的最大、最小项或项的取值范围问题, 实质是求函数最值问题.
  • 9.2. 函数单调性法
    • 利用单调性求函数最值的方法, 同样适用于求数列的最大(小)项, 但是要注意n∈N₊的限制.
      • 特别的,若数列{aₙ}是递增数列,则最小项为a₁=f(1); 若数列{aₙ}是递减数列,则最大项为a₁=f(1)
    • 若数列具有单调性, 则其对应的迭代函数一定是单调递增的
    • 千万别把aₙ-n图象(f(n)图象)与 aₙ₊₁-aₙ图象(f(aₙ)迭代函数图象搞混了
  • 9.3. 不等式组法
    • • 本质是数列中的找极值点
• 10. 用切线法对数列的和放缩
  • 10.1.
    • 10.1. 对于\sum\limits^{n}_{m=1}a_m○A的题目有
    • • \begin{split}&①令通项a_n=f'(n)→f'(x); \\&②积分得原函数f(x)、对f'(x)求导得f''(x),进而得f(x)凹凸性; \\&③算出f(x)上邻整数项点构成的割线斜率k_n; \\&④根据f(x)的凹凸性得到f'(n)○k_n(f(x)的割线斜率); \\&⑤对④的不等式两边求和得到S_n○\left\{\begin{aligned}&\sum\limits^{n}_{m=1}k_m\\&a_1+\sum\limits^{n}_{m=2}k_m\end{aligned}\right.○A.\end{split}
      • • \begin{split}&①令a_n=f'(n)→f'(x);\\& ②∫f'(x)dx=f(x)+C、f''(x)○0判断f(x)的凹凸性;\\& ③算出f(x)上邻整数项点构成的割线斜率k_n=\left\{\begin{aligned}&\frac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}=f(n+1)-f(n)\\&\frac{f(n)-f(n-1)}{n-(n-1)}=f(n)-f(n-1)\end{aligned}\right.\\&\ \ \ \left\{\begin{aligned}&放大型 \left\{\begin{aligned} &凹:k_n=f(n+1)-f(n) \\&凸:k_n=f(n)-f(n-1)\end{aligned}\right. \\&缩小型\left\{\begin{aligned} &凹:k_n=f(n)-f(n-1) \\&凸:k_n=f(n+1)-f(n)\end{aligned}\right.\end{aligned}\right.;\\& ④根据f(x)的凹凸性得到a_n=f'(n)○k_n\\&\ \ \ \left\{\begin{aligned}&放大型 \left\{\begin{aligned} &凹:a_n=f'(n)＜k_n=f(n+1)-f(n) \\&凸:a_n=f'(n)＜k_n=f(n)-f(n-1)\end{aligned}\right. \\&缩小型\left\{\begin{aligned} &凹:a_n=f'(n)＞k_n=f(n)-f(n-1) \\&凸:a_n=f'(n)＞k_n=f(n+1)-f(n)\end{aligned}\right.\end{aligned}\right.;\\& ⑤S_n=\sum\limits^{n}_{m=1}a_m=\sum\limits^{n}_{m=1}f'(m)○\left\{\begin{aligned}&\sum\limits^{n}_{m=1}[f(m+1)-f(m)]\\&f'(1)+\sum\limits^{n}_{m=2}[f(m)-f(m-1)]\end{aligned}\right.○A\\&\ \ \ \left\{\begin{aligned}&放大型 \left\{\begin{aligned} &凹:S_n=\sum\limits^{n}_{m=1}a_m=\sum\limits^{n}_{m=1}f'(m)＜\sum\limits^{n}_{m=1}[f(m+1)-f(m)]＜A \\&凸:S_n=\sum\limits^{n}_{m=1}a_m=f'(1)+\sum\limits^{n}_{m=2}f'(m)＜f'(1)+\sum\limits^{n}_{m=1}[f(m)-f(m-1)]＜A\end{aligned}\right. \\&缩小型\left\{\begin{aligned} &凹:S_n=\sum\limits^{n}_{m=1}a_m=f'(1)+\sum\limits^{n}_{m=2}f'(m)＞f'(1)+\sum\limits^{n}_{m=1}[f(m)-f(m-1)]＞A \\&凸:S_n=\sum\limits^{n}_{m=1}a_m=\sum\limits^{n}_{m=1}f'(m)＞\sum\limits^{n}_{m=1}[f(m+1)-f(m)]＞A\end{aligned}\right.\end{aligned}\right..\end{split}
        • 注解
          • Sₙ＜A称为缩小型，Sₙ＞A称为放大型
          • ③④只需画草图来确定是哪种情况，不用考虑单调性
          • 不建议把此方法用于超越函数，不仅是因为复杂，还因为积分之后往往要对超越数进行估算，这种操作会被扣分
  • 10.2. 原话与例题
    • (书上并未讨论放大型凸与缩小型凹的情况)
• 11. Sₙ=lnn!
  • 11.1. aₙ=lnn
    • 偶尔出现在一些导数大题的不等式证明中
      • 证明一侧: 构造前n项和, 作差法求Sₙ的单调性
      • 证明另一侧: 先证明不等式结论, 通项aₙ放缩, 求和Sₙ(加强)放缩
• 12. 杨辉三角
  • 12.1.
    • m阶等差数列的通项公式:
      • a_n=\frac{\prod\limits^{m}_{j=1}(n+j-1)}{\prod\limits^{m}_{k=1}k}