导图社区 自然演绎逻辑导论
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自然演绎逻辑导论
这是一篇关于自然演绎逻辑导论的思维导图，全书分为命题逻辑、词项逻辑、谓词逻辑、模态逻辑四大模块。命题逻辑部分先界定命题、联结词与真值表，引入假设引入、假设撤除等自然推演规则，依托规则构造有效论证证明，解析重言式与无效推论判别方法。传统词项逻辑梳理直言命题分类、对当关系、换质换位规则与三段论有效判定，打通日常语言与形式逻辑的转化。谓词逻辑引入个体词、谓词与量词，补充量词添加、消去推演规则，解决三段论无法处理的量化复杂语句推演问题。模态逻辑补充必然、可能模态算子，构建模态自然演绎体系，拓展模态命题推理规范。书中兼顾理论与实例，大量结合日常语言、哲学论证拆解逻辑谬误，讲解语句符号化技巧，纠正日常推理中偷换概念、前提缺失等常见问题。修订版增设元理论内容，简要阐释系统可靠性与完备性。全书弱化繁琐公理，突出自然演绎贴近人类直观思考的特点，既夯实形式逻辑理论基础，也可用于提升议论文论证、逻辑辨析能力，适用于哲学、法学等专业课程学习。
编辑于2026-06-01 19:51:25- 读书笔记
- 逻辑推理
- 谓词逻辑
- 模态逻辑
- 相似推荐
- 大纲
自然演绎逻辑导论
绪论
词项、命题、推论
词项
外延
外延就是该词项所指称的一类对象
单独词项(专有名词
普遍词项(普通名词
内涵
内涵就是该词项所指谓的一种属性，并且这种属性能够把一类对象与他类对象区别开来
从作用方面，词项可分为个体词项、属性词项(即谓词) 和逻辑词项
对词项还有一种特殊的分类
集合词项
非集合词项
定义
定义的作用在于规定或说明一个词项的意义
内涵定义的作用在于规定或说明一个词项的内涵
最常用的一种定义方法是属加种差的方法
在对一个词项下定义的时候，要求做到两点
第一，定义项与被定义项必须是外延相等的
违反这条则会犯“定义过宽” 或“定义过窄” 的错误
第二，定义项不得直接或间接地包含被定义项
违反这一规则会犯“循环定义”的错误，循环定义是不能起到规定或说明词项意义的作用的
外延定义的作用在于规定或说明一个词项的外延。
例子
行星包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星和冥王星。
这种列举一个词项的外延的所有成员的定义叫做“枚举定义
矩形包括长方形和正方形。
一种特殊的外延定义即实指定义
实指定义是一种非语言的定义
实指定义是联系语言和现实的中间环节
例如，当一个人指着一片颜色对他的孩子说:“这是红色"，他正在给出关于“红色” 的实指定义。
命题
命题就是具有真假性质的语句
语句的真和假统称为语句的真值
命题就是表达判断的语句
推论
一个推论是一个至少由两个命题组成的序列，其中一个命题是根据其他命题得出的
“推论指示词”
常用的推论指示词还有 “因为”、“既然”、“故”、“由此得出结论” 等等
区别“推出”的两种含义，从而区别两种不同性质的推论
演绎推论
演绎推论的结论是从前提中必然地推出
归纳推论
归纳推论的结论并非从前提中必然地推出的，而只是或然地推出的
尽管归纳推论不具有必然性，但它在科学推论中的作用并不亚于演绎推论
推论的有效性和可靠性
推论形式、变项和常项
任何具体推论都有内容和形式两个方面。推论的内容就是推论所涉及的具体对象
变项就是没有确定含义的符号
变项的变化范围叫做“变域”
具有确定意义的词项或符号叫做“常项”
联结词常项以外，我们以后还会用到“谓词常项”、“量词常项”、“个体常项” 和“命题常项” 等
推论的有效性
我们把通过对一个推论形式中的变项作替换而得到的一个具体推论叫做该推论形式的一个替换例子
一个推论形式是有效的，当且仅当，该推论形式的所有替换例子并非所有前提真而结论假。
一个推论是有效的，当且仅当，它是一个有效推论形式的替换例子。
一个推论的有效性取决于它的形式而不取决于它的内容。
反例
肯定后件
推论的可靠性
推论的前提和结论的真假组合而言，不外乎以下四种方式
(1) 所有前提真并且结论真；
(2) 所有前提真并且结论假；
(3) 至少有一前提假并且结论真；
(4) 至少有一前提假并且结论假。
可靠性：一个推论是可靠的，当且仅当，该推论是有效的并且它的所有前提都是真的
可靠性
有效性
论证
证明与反驳
论证是推论的实际应用。论证包括两种，即证明和反驳。
证明就是确定一个命题的真实性的推论
一个证明包括三个因素，即论题、论据和论证方式。
反驳是确定对方的证明不成立的推论。
即反驳对方的论题、反驳对方的论据或反驳对方的论证方式。
对方的论证方式被反驳，这并不意味着对方的论题同时被反驳。对方的论证方式不正确，仅仅意味着对方的论据不能支持对方的论题，但这并不表明对方的论题是假的。
反驳对方的论题或论据，就是要确定对方的论题或论据的虚假性。
为确定一个命题的虚假性，最常用的方法是归谬法。
归谬法的基本思想是：以被反驳的命题作为前提，推出荒谬的结论
这荒谬的结论或者与已知为真的知识相违，或者自相矛盾
论证的基本规则
矛盾律
A 和非 A 必有一假
矛盾律和排中律合在一起表示：A 和非 A 必有一假并且必有一真
排中律
A 和非 A 必有一真
同一律
A 等于 A
A 和 A 同真或者同假
这是因为 “人” 和“生命” 不是相等的词项，因而“月球上没有人” 和“月球上没有生命” 不是相等的命题。如果有人作了这种替换，那么他就犯了“偷换概念” 或“偷换论题”的错误
充足理由律
A 真是因为 B 真，并且由 B 可以推出 A
充足理由律包括两个方面：一是论据要真；二是论证方式是有效的。
在论据上违反充足理由律的错误有三种
虚假论据
以已知为假的命题作为论据
预期理由
以真假尚未确定的命题作为论据。
例如，有人根据“飞碟” 是一种非地球人发射的飞行器来论证“外星人” 的存在。飞碟”究竟是什么至今仍是一个有待解决的谜
循环论证
论据的真实性依赖于论题的真实性
把论题作为论据的循环论证又叫做“窃取论题”。
鲁迅曾经举过一个诡辩的例子，即：“你是卖国贼，我骂卖国贼，所以，我是爱国者。爱国者的话是最有价值的，所以我的话是不错的。我的话既然不错，你就是卖国贼无疑了！” 在这个“证明” 中，'“你是卖国贼” 既是论题又是论据，因而这是一个循环论证。
二难推论
辩论的一方常常提出一个断定两种可能性的前提，再由这两种可能性分别引伸出对方难以接受的结论，从而使对方处于进退两难的境地。
【二难推论形式 1】
如果 p, 那么 q 如果 r, 那么s P 或者 r 所以，q 或者 s
【二难推论形式 2】
如果 p, 那么 q 如果 r, 那么 q P 或者 r 所以，q
几种不正当的辩论手法
(1) 人身攻击
(2) 滥用权威。
不适当地引用权威人士的话，并作为不可置疑的论据来支持自己的观点
例如，有些人反对爱因斯坦提出的有限而无界的宇宙模型。但是，他们不是从现代科学发展的成果中寻找依据，而是拿了马克思和恩格斯在 100 多年前的一些话作为依据，给爱因斯坦戴上 “形而上学” 的帽子。
(3) 强词夺理。
(4) 复杂问语
复杂问语是这样一种问语，对它无论是肯定的回答，还是否定的回答，都意味着承认问话中预设的某个命题
例如，“你现在还信教吗?”就是一个复杂问语。对它的肯定回答是“我现在还信教”，对它的否定回答是“我现在不信教了”。无论采取哪一种回答，都意味着你承认自己原先是信教的。“你原先是信教的” 就是这个复杂词语所预设的命题。提出复杂问语的人是为了引诱对方无形中接受自己的预设，然后再反驳别人。
命题逻辑：符号化与真值表
基本概念
真值函项复合命题和真值函项联结词
命题逻辑是演绎逻辑的一个分支
命题逻辑中所研究的推论只涉及简单命题或复合命题之间的逻辑关系，而不涉及构成命题的词项之间的逻辑卖系。也就是说，命题逻辑是以命题为最小单位的。
简单命题就是不包含其他命题的命题
复合命题就是包含其他命题的命题
罗素是一个哲学家并且罗素是一个数学家”，就是一个复合命题。因为它是以“罗素是一个哲学家” 和“罗素是一个数学家” 这两个简单命题为其组成部分的。
一个复合命题所包含的其他命题叫做“复合命题的支命题”
一个复合命题中，把各个支命题联结起来的那个词项叫做“联结词”。
一个联结词被真值函项地使用，当且仅当，由该联结词构成的复合命题的真值完全地决定于它的支命题的真值
被真值函项地使用的联结词叫做“真值函项联结词”
由真值函项联结词构成的复合命题叫做“真值函项直合命题”
常把真值函项联结词简称为 “联结词”，把真值函项复合命题简称为“复合命题”
合取词和合取命题
∧
“∧” 叫做“合取词” “P∧Q” 叫做“合取式” 由 “P∧Q” 表达的命题叫做“合取命题”
取命题的支命题叫做“合取支
一个合取命题为真，当且仅当，它的合取支都为真。
析取词和析取命题
∨
只要它的两个支命题中至少有一个是真的，它就是真的
“∨”叫做“析取词”， “P∨Q” 叫做“析取式” 由 “P∨Q” 表达的命题叫做“析取命题”
析取命题的支命题叫做“析取支”
否定词和否定命题
¬
“并非” 则是一项联结词
真值函项联结词“¬ ”，即 “否定词”，用以表达被真值函项地使用的“并非”。“ ¬P” 叫做“否定式”，由 “¬ P” 表达的命题叫“否定命题”。
蕴涵词和蕴涵命题
→
“→” 叫做“蕴涵词”， “P→Q” 叫做“蕴涵式”， 由 “P→Q” 表达的命题叫做“蕴涵命题” 或“条件命题”
在 “P→Q” 中,“P” 所表达的支命题叫做“前件”，“Q” 所表达的支命题叫做“后件”。
有 “P→Q” 形式的命题和具有 “¬ P∨Q” 形式的命题是完全相等的。
等值词和等值命题
↔
“↔” 叫做“等值词”， “P↔Q” 叫做“等值式”，亦即“…当且仅当…" 由 “P↔Q” 表达的命题叫做“等值命题” 或“双条件命题”。 在 “P↔Q” 中，“P” 和 “Q” 所表达的命题分别叫做等值命题的“左支” 和“右支”
仅当 P 和 Q 都为真或都为假时，P↔Q 为真，在其他两种情况下，P↔Q 为假。 换句话说，P↔Q 为真，当且仅当，P 和 Q 的真值相同。
“P↔Q” 与 “ (P→Q) ∧ (Q→P)” 表达了相同的真值函项，因而，这两个公式是完全相等的。可以说，"P 当且仅当 Q” 是“如果 P那么 Q， 并且，如果 Q那么 P 的缩写
命题的符号化
一些常见的复合命题的符号化
“虽然…但是…” 与 “并且” 是完全相同
B∧G
虽然老王有病，但是他坚持工作
老王有病并且老王坚持工作。
日常语言中在真值函项的用法上与“并且” 相当的联结词还有“然而”、“不但…而且…”、“既…又…”、“既然…那么…” 等，甚至不用任何联结词
“要么…要么…” 等同于“或者”
T∨S
“要么…要么…"
（D∨E）∧¬ （D∧E）
要么东风压倒西风，要么西风压倒东风。
若相容，则取前者；若不相容，则取后者。 在传统逻辑中，把后者叫做“不相容的选言命题”，我们也可称之为“不相容析取"。
“…是假的”
真值函项地等同于“并非”
¬F
“只有…才…“
把具有 “如果 P 那么 Q" 这种形式的命题叫做“充分条件假言命题”， 把“只有 P 才 Q” 这种形式的命题叫做“必要条件假言命题”。
事态 a 是事态 b 的充分条件，就是说，当 a 存在时 b一定存在。
事态 a 是事态 b 的必要条件，就是说，当 a 不存在时 b 一定不存在
“如果 P 那么 Q" 为真，当且仅当，“只有 Q 才 P” 为真。 “如果 P 那么 Q” 和“只有 Q 才 P” 是相等的两个命题。
与“只有…才…” 的用法比较接近的联结词有 “仅当…才…”、“除非…不…” 等。
“P 如果 Q” 相当于 “如果 Q 那么 P”，因而可以符号化为“Q→P”。
“P 仅当 Q”相当于“仅当 Q 才P'，因而可以符号化为“P→Q”
充分并且必要条件假言命题”，正是我们所说的等值命题
等值式 P↔Q 相当于（P→Q）∧（Q→P）,
包含多个联结词的复合命题的符号化
当一个复合命题含有不止一个联结词时，其中必有一个联结词决定该复合命题的主要逻辑性质，这个联结词叫做复合命题的主联结词。
我们把由主联结词联结的支命题叫做“复合命题的直接支命题”
命题常项是复合命题的最小元素，因而可以叫做复合命题的“基本支命题” 或“原子支命题”
我们把包含不止一个联结词的复合命题的符号化归结为如下步骤：
(1) 用不同的命题常项表示复合命题中所有不同的简单命题；
(2) 辨认所有联结词进而辨认主联结词和直接支命题；
(3) 用真值函项联结词将命题常项联结起来，并用括号将符号分组，使主联结词处于括号的外边。
先”∨“和”∧“，后”→“和”↔“
命题的真值表及其逻辑性质
真值表的构造
我们把对一个复合命题的所有命题常项的真值赋值称为对该命题的“真值指派”
用 “K” 表示真值指派的数目，用 “n” 表示一个复合命题所含命题常项的数目，二者之间的关系为：K=2^n
如何列举一个复合命题的全部真值指派
构造真值表的过程是一个能行的过程，即我们可以用机械的方法在有穷的步骤内构造出任何一个复合命题的真值表，而无论这个复合命题多么复杂。
重言式、矛盾式和偶然式
重言式
一个命题是重言式，当且仅当，该命题在所有的真值指派下都是真的。
真值函项地真的
“真值函项的真命题"
矛盾式
一个命题是矛盾式，当且仅当，该命题在所有的真值指派下都是假的。
真值函项地假的
“真值函项的假命题”
偶然式
一个命题是偶然式，当且仅当，该命题在有些真值指派下是真的，在另一些真值指派下是假的。
真值函项地不定的
“真值函项的不定命题”
A↔A
同一律
A∨¬A
排中律
¬(A∧¬A)
矛盾律
重言等值和重言蕴涵
重言等值
“真值函项地等值”
任何两个命题 P 和 Q 是重言等值的，就是说，P 和 Q 在所有的真值指派下都是真值相同的
命题 P 和Q是重言等值的，当且仅当，P↔Q是一个重言式
重言蕴涵
“真值函项地蕴涵”
命题P重言蕴涵命题Q, 就是说，在所有的真值指派下，都不会出现 P 真而Q 假的情形
重言蕴涵是不对称的
P重言蕴涵 Q, 当且仅当，P→Q是一个重言式。
用真值表检验推论的有效性
在命题逻辑中，一个推论是有效的，当且仅当，在任何真值指派下，它都不会出现所有前提真而结论假的情形
在命题的逻辑中，一个推论是有效的，当且仅当，它的所有前提的合取式重言蕴涵它的结论
真值表方法
我们把那些仅仅依据命题间的真值函项关系，或者说，仅仅依据真值函项联结词所进行的推论叫做“命题推论”。用真值表方法只能检验命题推论的有效性。
短真值表方法
步骤 1：写出与所讨论的推论相应的蕴涵式。
步骤 2：假定蕴涵式是假的，即假定它的前件为真而后件为假。
步骤 3：在这种假定下，根据真值函项联结词的特征真值表推导出命题常项（或命题变项）的真值。
步骤 4：检查每一个命题常项（或命题变项） 的真值，如果所有相同的命题常项（或命题变项）都被赋予相同的真值，那么所讨论的推论是无效的； 如果至少有一个命题常项（或命题变项）既真又假，那么所讨论的推论是有效的。
当对一个蕴涵式应用短真值表方法的赋值多于一种可能时，只要在其中一种可能的赋值下没有导致矛盾，就表明这个蕴涵式不是重言式，从而可以断定相应的推论是无效的。
要断定所讨论的推论是有效的，必须在所有可能的赋值下都导致矛盾。
命题逻辑：推理
八条整推规则
这八条规则必须应用于整个命题，而不能应用于命题的某一个部分；或者说，这八条规则必须应用于主联结词，而不能应用于非主联结词。
肯定前件
P→Q P ∴Q
否定后件
P→Q ¬Q ∴¬P
否定析取支
P∨Q ¬Q ∴P
化简
P∧Q ∴P
合取
P Q ∴P∧Q
假言三段论
P→Q Q→T ∴P→T
二难推论
P→Q M→T P∨M ∴Q∨T
附加
P ∴P∨Q
十条置换规则
对于任何命题 P, 无论它是以整个命题出现，还是作为一个命题的一部分出现，都可用与它重言等值的命题Q来替换。
交换
P∨Q↔Q∨P
析取交换
P∧Q↔P∧Q
合取交换
双重否定
P↔¬¬P
德摩根律
¬（P∨Q）↔¬P∧¬Q
否定析取的德摩根律
¬（P∧Q）↔¬P∨¬Q
否定合取的德摩根律
假言易位
(P→Q)↔(¬Q→¬P)
蕴涵
(P→Q)↔（¬P∨Q）
重言
P↔P∨P
析取重言
P↔P∧P
合取重言
结合
P∨(Q∨R)→(P∨Q)∨R
析取结合
P∧(Q∧R)→(P∧Q)∧R
合取结合
分配
P∨(Q∧R)→(P∨Q)∧(P∨R)
析取对合取的分配
P∧(Q∨R)→(P∧Q)∨(P∧R)
合取对析取的分配
等值
(P↔Q) ↔(P→Q) ∧(Q→P)
条件证明规则
条件证明规则
如果从前提 Pr 或假设 P 推出 Q, 那么，仅从前提 Pr 可以推得 P→Q
Pr 表示所有前提的合取，从假设 P 开始到 Q 为止的直线标示出假设的范围即假设域
假设一旦被撤除，假设域内的任何一行都不能再被使用
间接证明规则
间接证明规则：
如果从前提Pr 和假设¬P 推出Q∧¬Q, 那么，仅从前提Pr 可以推出P。
自然演绎与真值表方法
三段论逻辑
直言命题
任何一个直言命题都是由主项、谓项、联项和量项这四个部分组成的
直言命题的形式
所有 S 是 P
A
全称肯定命题
所有 S不是 P
E
全称否定命题
有 S 是 P
I
特称肯定命题
有 S 不是 P
O
特称否定命题
0
由 S 表示的词项叫做“主项”
由 P 表示的词项叫做“谓项”
把主项和谓项联结起来的词项叫“联项”
是
肯定联项
不是
否定联项
用来表示主项在外延方面的数量的词项叫做“量项”
“所有” 叫做“全称量项”，它表示了主项的全部外延
“有”叫做“特称量项”，它没有表示主项的全部外延
直言命题之间的关系
“所有 S 是 P” 等值于“所有 S 不是非 P”。
“所有 S 不是 P” 等值于 “所有 S 是非 P”。
“有 S 是 P” 等值于“有 S 不是非 P”。
“有 S 不是 P” 等值于 “有 S 是非 P”
置换规则
根据矛盾关系
“所有 S 是 P” 等值于“并非有 s 不是 P”。
“有 S 不是 P” 等值于“并非所有 s 是 P”。
“所有 S 不是 P” 等值于“并非有 S 是 P”。
“有 S 是 P” 等值于“并非所有 S 不是 P”
根据谓项及其补词项之间的关系（即换质法）
这样两个具有相同主项的直言命题可以相互置换：它们的联项相反，谓项互为补词项
“所有 S 是 P” 等值于“所有 S 不是非 P”。
“所有 S 不是 P” 等值于“所有 S 是非 P”。
“有 S 是 P” 等值于“有 S 不是非 P”。
“有 S 不是 P” 等值于“有 S 是非 P”。
根据主项和谓项的对称性（即换位法）
主项和谓项交换位置的两个E 命题可以相互置换；
“所有 S 不是 P” 等值于“所有 P 不是 S”。
主项和谓项交换位置的两个 I命题可以相互置换。
“有 S 是 P” 等值于“有 P 是 S”。
三段论
三段论是这样一种推论，它由三个直言命题组成，其中两个直言命题是前提，另一直言命题是结论；就主项和谓项而言，它包含三个不同的词项，每个词项在两个命题中各出现一次。
三段论的格
"P”、“M” 和 “S” 分别表示大项、中项和小项
三段论的式
以不同形式的命题作为前提或结论而形成的各种不同的三段论形式叫做
三段论的形式
例子：AAA-Ⅰ
基本三段论 基本直言命题
用文恩图检验三段论的有效性
当一个三段论有一个全称前提和一个特称前提时，我们最好先画出全称前提，然后画出特称前提
三段论的有效形式是并且仅仅是以上 15 个形式。任何一个三段论如果是这 15 个形式之一的一个替换例子，它就是有效的，否则，它就是无效的
用规则检验三段论的有效性
三段论规则
规则 1：中项至少在一个前提中周延。
规则 2：如果一个词项在结论中是周延的，那么，它必须在前提中周延。
规则 3：至少一个前提是肯定的。
规则 4：如果有一个前提是否定的，那么，结论是否定的；如果结论是否定的，那么，有一前提是否定的。
规则 5：如果两个前提都是全称的，那么，结论不能是特称的。
强化三段论
在传统三段论逻辑中有一个基本的假定，即“直言命题的主项不为空词项”，或者说，“直言命题的主项所表示的事物是存在的”。在这种假定下，每一个三段论都暗含着一个前提，即“由前提中的主项所表示的事物是存在的”。
我们把这样的三段论叫做“强化三段论”，把组成强化三段论的直言命题叫做“强化直言命题”。
在传统三段论逻辑中，强化直言命题之间的逻辑关系被归结为一个“逻辑方阵”
矛盾
反对
不能同真，可能同假
下反对
不能同假，可能同真
差等
当全称命题为真时，同质的特称命题必为真
A→I
E→O
当特称命题为假时，同质的全称命题必为假
¬I→¬A
¬O→¬E
用文恩图检验强化三段论的一般程序
步骤 1：画出两个前提的文恩图。
步骤 2：在各个前提以及结论的主项的圆内写上 “X”。
步骤 3：检查图中是否已把结论画出。若画出，则该推论有效；若未画出，则该推论无效。
用规则来检验强化三段论的有效性，我们必须取消第五条规则。如果取消第五条规则，只用前四条规则检验强化三段论
规则 1：中项至少在一个前提中周延。
规则 2：如果一个词项在结论中是周延的，那么，它必须在前提中周延。
规则 3：至少一个前提是肯定的。
规则 4：如果有一个前提是否定的，那么，结论是否定的；如果结论是否定的，那么，有一前提是否定的。
强化三段论的有效形式
处理三段论的两种方案
如何确定一个三段论是强化三段论还是基本三段论
这不是一个单纯的逻辑问题，而是一个涉及语言环境和具体科学的问题
谓词逻辑：基本概念和符号化
基本概念
谓词逻辑和谓词推论
我们既能处理那些依据真值函项联结词的推论，又能处理那些依据量词的推论，而且还能处理那些既依据量词又依据真值函项联结词的推论。这样的逻辑理论叫做“谓词逻辑”。
我们把谓词逻辑所处理的推论叫做“谓词推论”。命题推论是谓词推论的一部分
个体词和谓词
表示个别事物的名称或短语叫做“个体词”
规定，小写字母 a 至 w (带或不带正整数下标) 为个体常项，它们用来表示自然语言中的个体词亦即专名 (专有名词)
把表示事物的性质或关系的短语叫 “谓词”。
其后紧跟一对括号的大写字母 A 至 Z.(带或不带正整数下标) 为谓词常项，它们用来表示自然语言中的谓词
我们把表示 n 个个体的属性或关系的谓词叫做 “n目谓词”
含有 n 个逗号的谓词是 n +1 目谓词
谓词符号是被一对包含或不包含逗号的括号紧跟其后的大写字母
例子：A( )、M（）、S( , )
单称命题
用一个 n 目谓词常项和填写在其后一对括号中的 n 个个体常项加以符号化，这样的命题及其符号化都是关于某些个别事物的
所有单称命题都属于谓词逻辑的基本命题
所有的命题常项也属于谓词逻辑的基本命题
如：A、B
基本命题叫做“原子命题”
所有单称命题和所有命题常项就是谓词逻辑的全部原子命题
原子命题构成的复合命题又叫做“分子命题”。
量词
个体变项的变域是宇宙间的任何个体，除非对它加以特别的限制。
全称量词
∀
它的含义相当于日常语言中的 “每一”、“任何”、“所有”、“一切” 等
存在量词
∃
它的含义相当于自然语言中的“有”、“有的”、“至少有一”等
量词的辖域、普遍命题和复合命题
量词的辖域
量词的作用范围
量词后边紧接一个左括号。在这种情况下，量词的辖域从量词开始延续到与该左括号配对的右括号
量词后边没有紧跟一个左括号，也没有紧跟一个量词。在这种情况下，量词的辖域从量词开始延续到该量词之后的第一个二项真值函项联结词之前（不包括该真值函项联结词）。
量词后边紧接一个量词，在这种情况下，该量词的辖域就是它本身加上它后边的量词的辖域。
量词和真值函项联结词统称为 “逻辑词”。
普遍命题
以量词为主逻辑词的命题称作 “普遍命题”
全称命题
全称命题的主逻辑词是全称量词
存在命题
存在命题的主逻辑词是存在量词
复合命题
以真值函项联结词为主逻辑词的命题称做“复合命题”
谓词逻辑的全部命题
普遍命题
复合命题
基本命题（即原子命题）
基本命题可以是一个单称命题，即由一个 n 目谓词常项和填写在其后的一对括号中的 n 个个体常项组成，也可以是一个命题常项。
R(m, n)
K
自由变项和约束变项
一个变项在一个公式中是一个约束变项，当且仅当，该变项至少有一次出现是约束的
一个变项在一个公式中的一次出现是约束的，当且仅当，这次出现是在含有该变项的量词的辖域内。
一个变项在一个公式中是一个自由变项，当且仅当，该变项至少有一次出现是自由的
一个变项在一个公式中的一次出现是自由的，当且仅当，该变项的这次出现不是约束的。
∀x(x,y)↔∀y(x,y)
在这个例子中，x 和 y 都是约束变项，也都是自由变项
变项的任何一次出现要么是约束的，要么是自由的，而不能二者得兼。
开语句、开语句的例示和概括
开语句
至少含有一个自由变项的公式
开语句不表达任何命题。从一个开语句得到一个命题有两种并且只有两种方法，即例示和概括。开语句和符号化了的命题统称为“公式”。
如果用个体常项替换一个开语句中的所有个体变项，那么，便得到一个命题
【定义】 用一个个体常项替换开语句中的一个个体变项的每一次自由出现，称为对这个开语句的一次例示
由一次例示得到的结果叫做开语句的一个“替换例子”
用以替换的个体常项叫做“例示常项”。
从一个开语句得出一个命题的另一种方法是对开语句进行概括
【定义】对一个开语句进行一次概括，就是在这个开语句前边加上一个量词，该量词所含的变项与这个开语句所含的十个自由变项相同，并且该量词的辖域包括整个公式
用全称量词对开语句进行概括，称作“全称概括”
用存在量词对开语句进行概括，称作“存在概括”
重复约束和空约束
重复约束
一个量词出现在另一个含有相同变项的量词的辖域内
∀x(x,y)
空约束
一个量词的辖域内没有第二次出现该量词所含的个体变项。
∃x∀y(I(x)→L(x))
命题的符号化
直言命题的符号化
全称命题和存在命题的一般形式分别是 “∀xP(x)” 和“∃xP(x)”
以上讨论了四种直言命题的符号化，其一般形式是：
A：∀x(P(x)→Q(x))
E：∀x(P(x)→¬Q(x))
I：∃x(P(x)∧Q(x))
O：∃x(P(x)∧¬Q(x))
在谓词逻辑中，直言命题是被作为基本直言命题对待的
对于基本直言命题来说，传统逻辑方阵中的差等关系、反对关系和下反对关系均不成立，只有矛盾关系成立。
∀x(P(x)→Q(x))↔¬∃x(P(x)∧¬Q(x))
∀x(P(x)→¬Q(x))↔¬∃x(P(x)∧Q(x))
∃x(P(x)∧Q(x))↔¬∀x(P(x)→¬Q(x))
∃x(P(x)∧¬Q(x))↔¬∀x(P(x)→Q(x))
论域
特定场合下所谈论的某一类对象的集合叫做在那个场合下的“论域”。
相应于全集的论域叫做“全域”
UD：{……} 或 论域：{……}
Ψ( )是一个关于任意目谓词的元变项。 对于惟一的自由变项x而言，一目谓词元变项P( ) 和任意目谓词的元变项Ψ( )之间并没有本质的区别
∀x Ψ(x) ↔ ∃x ¬Ψ(x)
∀x ¬Ψ(x) ↔ ∃x Ψ(x)
∃x Ψ(x) ↔ ∀x ¬Ψ(x)
∃x ¬Ψ(x) ↔ ∀x Ψ(x)
一般命题的符号化
全称命题总是和蕴涵式相联系
一般结构
∀x(P(x)→……)
存在命题总是和合取式相联系
一般结构
∃x(P(x)∧……)
由多个谓词组合而成的谓词叫做“复合谓词”
复合谓词可以由简单谓词按照各种各样的方式组合而成
例子
(10)如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，他是聪明的。
∀x(S(x)→(D(x,h) →C(x)))
这个 “他” 属于返回量词的代词交叉指称。返回量词的代词交叉指称出现在哪里，量词的辖域就扩展到哪里
(11) 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，黑格尔的《逻辑学》是容易的。
∃x(S(x)∧(D(x,h))→R(h)
自然语言中的量词“所有” 和“任何” 在用法上并非完全相同。 其区别在于，“所有”总是作为全称量词的，而“任何” 则有时作为全称量词，有时作为存在量词。
“任何 S 是 P” 和“所有 S 是 P” 之间没有区别，因为在这两个命题中，“任何” 和“所有” 都是主逻辑词，因而二者都是全称量词
(11)中的“任何” 不是主逻辑词，其辖域只限于前件，这使得其中的“任何” 是存在量词而不是全称量词
(12) 如果黑格尔的《逻辑学》是容易的，那么，任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》。
R(h)→∀y (S(y)→D(y,h))
(13) 如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，黑格尔的《逻辑学》是容易的。
∀y (S(y) →D(y,h))→R(h)
(14) 任何读懂黑格尔的《逻辑学》的小学生都是聪明的。
∀y (S(y) ∧D(y,h)→C(y))
(14) 和(10)是两个逻辑等值的命题
(15) 只有人是有理性的。
对于任一事物而言，只有它是人，它才是有理性的。
对于每一事物而言，如果它是有理性的，那么它是人。 ∀x (L(x)→R(x))
对于任一事物而言，如果它不是人，那么它没有理性 ∀x (¬R(x)→¬L(x))
(16) 聂卫平只同高明的棋手下棋。
(a) 对于每一棋手而言，只有他是高明的，聂卫平才同他下棋。
论域是“棋手”
它所强调的必要条件仅仅是“高明的”
∀y (S(y) ∧Q(n,y)→G(y)）
(b) 对于每一事物而言，只有它是高明的棋手，聂卫平才同他下棋。
论域是全域
它所强调的必要条件是“高明的棋手”
∀y (Q(n,y)→G(y)∧S(y)）
(16') 与 (16") 的区别是明显的。现假定与聂卫平下棋的是一个不懂事的幼儿，而不是棋手，在这种情况下，(16')是真的，而(16")是假的。对于象(16)这样的命题，我们只有把它放在具体的语言环境中，才能惟一地确定它的含义。
在任何情况下，对一个命题的符号化都不应含有自由变项, 因为含有自由变项的公式是一个开语句而不是一个命题。
命题的多重量化·
如果在一个命题中，至少有一个量词处于另一个量词的辖域内，那么，我们称这个命题是多重量化的。
不同于重复约束，二者的区别是：前者所涉及的是含有不同个体变项的量词，而后者所涉及的是含有相同个体变项的量词。
量词移置律
P 代表不含有个体变项 x 的任何公式
量词移到或移开某一部分公式时，其余部分不含有该量词所含的个体变项。
P ∧ ∃x Ψ(x) ↔ ∃x (P ∧ Ψ(x))
P ∧ ∀x Ψ(x) ↔ ∀x (P ∧ Ψ(x))
∃x Ψ(x) ∧ P ↔ ∃x (Ψ(x) ∧ P)
∀x Ψ(x) ∧ P ↔ ∀x (Ψ(x) ∧ P)
合取命题量词移置
P ∨ ∃x Ψ(x) ↔ ∃x (P ∨ Ψ(x))
P ∨ ∀x Ψ(x) ↔ ∀x (P ∨ Ψ(x))
∃x Ψ(x) ∨ P ↔ ∃x (Ψ(x) ∨ P)
∀x Ψ(x) ∨ P ↔ ∀x (Ψ(x) ∨ P)
析取命题量词移置
(P→∃xΨ(x))↔∃x(P→Ψ(x))
(P→∀xΨ(x))↔∀x(P→Ψ(x))
蕴含命题后件量词移置
(∃xΨ(x)→P)↔∀x(Ψ(x)→P)
(∀xΨ(x)→P)↔∃x(Ψ(x)→P)
蕴含命题前件量词移置
只要不导致重复约束，那么，对个体变项的选择是任意的。
谓词逻辑：解释与推演
解释
命题的解释及其真假
对于含有量词的命题，为确定其真假不仅需要对其中的谓词常项和个体常项作解释，而且需要规定论域。
同一个命题相对于不同的论域可以有不同的真值。
对一个命题作出一个解释，当且仅当，对该命题
a. 规定一个非空论域 UD；
b. 给每一个谓词常项指定一个属性；
c. 给每一个体常项指定论域中的一个成员；
a. 给每一个命题常项指定真值。
直接以论域成员为主项的直言命题属于强化直言命题，而不属于基本直言命题。
如果我们要确定一个复合命题相对于一个解释的真值，那么，我们首先确定它的各个支命题对于该解释的真值，然后根据特征真值表确定该复命题相对于该解释的真值。
对于全称命题来说，论域中只要有一个反例，它就是假的，否则它是真的；
对于存在命题来说，论域中只要有一个正例，它就是真的，否则，它是假的。
一个论域，其成员可以是无穷的，也可以是有穷的，甚至可以是惟一的。我们对论域的惟一限制是不为一个空论域。
普遍有效式和不可满足式
普遍有效式
一个命题是普遍有效式，当且仅当，该命题相对于每一个解释都是真的。
普遍有效式包括重言式
重言式
一个命题是重言式，当且仅当，该命题在所有的真值指派下都是真的。
不可满足式
一个命题是不可满足式，当且仅当，该命题相对于每一个解释都是假的。
不可满足式包括矛盾式
矛盾式
一个命题是矛盾式，当且仅当，该命题在所有的真值指派下都是假的。
重言式和矛盾式分别是普遍有效式和不可满足式的特殊情形
非普遍有效式
一个不是普遍有效式的命题
要确定一个命题是一个非普遍有效式，我们只需构造一个解释，使该命题相对于这个解释是假的；
可满足式
一个不是不可满足的命题
要确定一个命题是一个可满足式，我们只需构造一个解释，使该命题相对于这个解释是真的
可满足而非普遍有效式
把相对于有些解释为真而相对于另一些解释为假的命题
逻辑等值和逻辑蕴涵
命题 P 和 Q 是逻辑等值的，当且仅当，相对于每一个解释，P 和 Q 均为真或者均为假。（P↔Q）
P逻辑蕴涵Q, 当且仅当，相对于每一个解释，并非 p 真而Q假。(P→Q)
谓词推论的解释及其有效性
一个谓词推论是有效的，当且仅当，它相对于每一个解释并非所有前提真而结论假
我们却可以通过构造解释的方法证明一个谓词推论是无效的。这只需给出这样一个解释，相对于它，推论的所有前提为真而结论为假。这种方法叫做“构造反例的方法”。
一个谓词推论是有效的，当且仅当，该推论的所有前提的合取 Pr 逻辑蕴涵其结论C。 换言之，一个推论是有效的，当且仅当，“Pr→C” 是一个普遍有效式。
推演
命题推演规则和量词转换规则
谓词逻辑是把命题逻辑作为子系统包含在内的，命题逻辑的二十条推演规则均属谓词逻辑的推演规则。
一个谓词的推论是有效的，当且仅当，通过这些规则可以从它的前提推出它的结论。
量词转换规则
一个公式可以置换为这样一个公式，它的量词与原公式的量词相反，它的量词前后的否定号也与原公式的量词前后的否定号相反。
证明一个谓词推论的一般步骤是：
(i) 根据有关规则销去量词；
(ii) 求得不带量词的结论；
(iii) 如果需要，那么，根据有关规则给结论加上量词。
全称量词的整推规则
全称例示规则（全例）
从一个全称命题可以推得它的一个替换例子。
∀x Ψ(x) ∴Ψ(a/x)
正如命题逻辑的整推规则，全称例示规则和将要讨论的其他三条关于量词的推演规则，都只能应用于整个命题，而不能应用于命题的某一部分，因而均属整推规则。
全称概括规则(全概)
从一个全称命题的一个替换例子可以推出这个全称命题。
Ψ(a/x) [ (i) a 不在任何前提中或尚未撤除的假设中出现； ∴∀x Ψ(x) (ii) a 不在 ∀x Ψ(x) 中出现。]
存在量词的整推规则
存在概括规则(存概)
从一个存在命题的一个替换例子可以推出这个存在命题。
Ψ(a/x) ∴∃xΨ(x)
在进行存在概括时， 既可以将被概括的个体常项的每一次出现一致地替换为一个个体变项的出现， 也可以将该个体常项的仅仅一部分出现一致地替换为一个个体变项的出现。
在概括规则不要求例示常项 a 不出现在结论中。 此外，存在概括规则不要求例示常项 a 不出现在任何前提和尚未撤除的假设中。 所以，对于存在概括规则的应用是不受任何限制的。
存在例示规则(存例)
如果由一个存在命题和它的一个含有新名的替换例子可以推出一个不含新名的命题，那么，仅由这个存在命题可以推得这个不含新名的命题。
∃xΨ(x) ⌜Ψ(a/x) l…… ⨽P ∴P
[(i) a 不出现在任何前提和尚未撤除的假设中； (ii) a 不出现在 ∃xΨ(x)中； (iii) a 不出现在 P 中。]
我们把这样规定的个体常项叫做“新名”，把含有新名的假设叫做“新名假设”。
消去新名的方法并非只有一种
存在概括规则
假言三段论
……
作为一种推演策略，在一般情况下，我们最好先作新名假设，然后进行全称例示。
这个推演便表明：从一定意义上讲，存在例示规则是由条件证明规则派生出来的；或者说，存在例示规则的假设引入 -撤除功能是从条件证明规则继承而来的。
这四个推论规则属于整推规则， 只能应用于整个命题， 而不能应用于命题的某一部分
模态逻辑
基本概念
模态逻辑是关于模态推论的逻辑。 模态推论是那些依据模态词即“必然” 或“可能” 的推论。
模态逻辑
模态命题逻辑
模态谓词逻辑
模态推论
模态命题推论
模态谓词推论
命题的模态
一个命题的真值模态是指一个命题为真或为假的方式。
真值模态有三种，即必然、偶然和可能。
定义
一个命题是偶然真的，当且仅当，它是真的但却可能假。
一个命题是必然真的，当且仅当，它不可能假。
一个命题是偶然假的，当且仅当，它是假的但却可能真。
一个命题是必然假的，当且仅当，它不可能真。
命题
真命题
偶然真命题
必然真命题
可能命题
假命题
偶然假命题
必然假命题
不可能命题
必然命题
(狭义)逻辑必然命题
逻辑命题
逻辑真的命题是必然真的
逻辑假的命题不可能真
广义逻辑必然命题
数学命题
(1) 2+3=4 +1
(2) 集合 A 与集合 B 的并等于集合 B 与集合 A 的并。
分析命题
真实性只需通过对其中所含词项的意义进行分析便可确定，而无需与事实对照。
(3) 单身汉是未婚成年男子。
(4) 如果甲是乙的母亲，那么乙不是甲的母亲。
(5) 有些命题是真的。
因果必然命题
因果必然命题不同于狭义的或广义的逻辑必然命题，因为对因果必然命题的否定并不会导致自相矛盾。
(6) 摩擦生热。
(7) 热胀冷缩。
因果必然性的必然性不是来自语义分析，而是在很大程度上来自经验，尽管这种经验不是普通的经验，而是被纳人一个被普遍接受的科学理论之中的。
可能世界
从最宽泛的意义上讲，凡是能够被无矛盾地想象的世界都是可能世界。
现实世界是可能世界的一个特例。
一个命题是可能真的，当且仅当，该命题至少相对于一个可能世界是真的。
一个命题是可能假的，当且仅当，该命题至少相对于一个可能世界是假的。
一个命题是必然真的，当且仅当，该命题相对于所有可能世界是真的。
一个命题是必然假的，当且仅当，该命题相对于所有可能世界是假的。
一个命题是偶然真的，当且仅当，该命题相对于现实世界是真的，但是至少相对于一个可能世界是假的。
一个命题是偶然假的，当且仅当，该命题相对于现实世界是假的，但是至少相对于一个可能世界是真的。
逻辑方阵
必然命题和可能命题之间的逻辑关系类似于全称命题和特称命题之间的逻辑关系，从而可以表示为一个类似的逻辑方阵
严格蕴涵
仅当前件和后件之间具有某种必然联系时，日常语言中的蕴涵命题才为真
定义
P⇒Q
P 严格蕴涵Q, 当且仅当，P→Q是必然的。
如果一个命题作为严格蕴涵命题是真的，那么，该命题作为实质蕴涵命题也是真的； 如果一个命题作为实质蕴涵命题是假的，那么，该命题作为严格蕴涵命题也是假的。
此论断的逆论断不成立。
逻辑独立
任何两个命题 P 和 Q 之间都具有实质蕴涵关系，不是 P 实质蕴涵 Q,就是 Q 实质蕴涵 P。
因为 P 不实质蕴涵 Q 只有一种情况，即 P 真而 Q 假。 而在这种情况下，Q 实质蕴涵 P。
一对命题P 和Q 是逻辑独立的，当且仅当，P 不严格蕴涵Q, 并且，Q 不严格蕴涵P
严格等值
P⇔Q
P 严格等值Q, 当且仅当，P↔Q 是必然的。
如果一个命题作为严格等值命题是真的，那么，它作为实质等值命题也一定是真的
如果一个命题作为实质等值命题是假的，那么，它作为严格等值命题也一定是假的
如果一个等值命题的左右两支的真值不同，那么该命题无论作为实质等值命题还是作为严格等值命题都是假的。
如果一个等值命题的左右两支的真值相同，那么，该命题作为实质等值命题是真的； 但作为严格等值命题则可能真也可能假，这取决于其左右两支之间有无必然联系：若有则真，若无则假。
逻辑蕴涵和逻辑等值分别是严格蕴涵和严格等值的特例。
模态命题的表达
基本符号与定义
(P⇒Q)⇔□(P→Q)
(P⇔Q)⇔□(P↔Q)
◊P⇔¬□¬P
□P⇔¬◊¬P
□¬P
读作：必然非P；或：P是必然假的。
◊¬P
读作：可能非P，或：P是可能假的。
必然命题是必然真或必然假的命题。
□P∨□¬P
凡不是必然命题的都是偶然命题。
¬(□P∨□¬P) 或 ◊¬P∧◊P
偶然真的命题
P∧◊¬P∧◊P 或 P∧◊¬P
P∧◊¬P∧◊P ⇔ P∧◊¬P
偶然真命题是 (现实) 真而可能假的
偶然假的命题
¬P∧◊¬P∧◊P 或 ¬P∧◊P
¬P∧◊¬P∧◊P ⇔ ¬P∧◊P
偶然假命题是 (现实) 假而可能真的
整体模态与部分模态
整体模态
把其辖域包括整个公式的模态词所表达的模态叫做“整体模态”
部分模态
把其辖域只包括部分公式的模态词所表达的模态叫做“部分模态”
“整体模态命题”
具有整体模态的命题
“部分模态命题”
仅仅具有部分模态的命题
模态命题的自然语言表达
如果模态命题中含有复合命题，那么，表达整体模态的模态词一般出现在命题的最前或最后，必要时用逗号将模态词和其他部分隔开。
在汉语中，为了表达部分模态，一般地，模态词出现在属于其辖域的那部分命题之前或之中 (二者之间没有逗号)，并且其辖域延续到其后第一个逗号或句号之前。
在自然语言中，严格蕴涵命题的模态常常是靠前件和后件之间在内容上的某种必然联系暗示的，因此，严格蕴涵命题的模态词甚至可以省略。
表示必然模态的词还有：“肯定”、“无疑”、“理所当然” 等等；
表示可能模态的词还有：“或许”、“大概”、“不一定” 等等。
模态命题逻辑发展概况
系统 T
置换规则
(P⇒Q)⇔□(P→Q)
(P⇔Q)⇔□(P↔Q)
◊P⇔¬□¬P
□P⇔¬◊¬P
根据这四个等值式所作的置换可以说明为：定义
必然模态词的整推规则
必然销去规则(□销规则)
□P ∴P □销
必然引入规则(□引规则)
T- 重述规则
在证明过程中，如果 出现，那么 □P 可以进入一个□引域 (□P 的这一出现不在任何已被撤除的假设域内)。
在(i)中， □引域中的一些命题是通过 T- 重述规则引入的。 这样引入的命题以及由它们推得的命题随时可以退出□引域，退出后在它们的前边加上 “□”。
在(ii)中， □引域中的一些命题是通过假设引入的，一旦假设被撤除，假设域外的命题可以退出□引域，退出后在它们的前边加上 “□”。 (ii)的合理性在于， □引域内的假设 P 一旦撤除，假设域外的 R 便在该中得到无前提证明，因而具有必然性。
一个 中的任何一行，必须满足下列条件之一： (i) 是应用重述规则得到的； (ii) 是一个假设； (iii) 是由该 □引域中的其他命题推出的。 这就是说，不满足以上条件的公式不得进入□引域。
T- 重述规则的一次应用所得到的一个命题只能进入一个□引域，而不能进入两个以上□引域。
定理
(P⇒Q)∧¬ Q⇒¬P
□(P∧Q)⇒□P∧□Q
(P⇒Q)⇒((Q⇒R)→(P⇒R))
可能模态词的整推规则
可能引入规则(◊引规则)
P ∴◊P ◊引
可能销去规则(◊销规则)
这一思想也可用公式表述为：(P⇒Q)∧◊P→◊Q
T- 重述规则也适用于◊销域
系统 S4
重迭模态词
两个以上连续出现的模态词
□□P
◊□P
S4-重述规则
S4的特征公式
□P⇒□□P
在证明过程中，如果□P出现，那么，□P可进入一个□引域。（□P的这一出现不在任何已被撤除的假设域内。）
属于S4但不属于T的定理
◊□P⇒◊□◊□P
◊□◊□P⇒◊□P
□◊P⇒□◊□◊P
□◊□◊P⇒□◊P
模态词的化归
S4中有定理
□P⇔□□P
◊P⇔◊◊P
□◊P⇔□◊□◊P
◊□P⇔◊□◊□P
在 S4, 中，任何重迭模态词均可化归为最多含有三个模态词的重迭模态词。
这些不能进一步化归的重迭模态词有四种形式。
□◊□P
◊□◊P
◊□P
□◊P
系统S5
S5-重述规则
在证明过程中，如果□P或 ◊P出现，那么， □P或◊P 可进入一个 ( □P或 ◊P的这一出现不在任何被撤除的假设域内)。
显然 ，S5- 重述规则直接包括了 S4 -重述规则。
S5的特征公式
◊P⇒□◊P
它反映了 S5 区别于 S4 的基本特征
S5中有定理
◊P⇔□◊P
◊□P⇔□P
□P⇔◊□P
模态词的化归
S5中共有4条化归律
□P⇔□□P
◊P⇔◊◊P
◊P⇔□◊P
□P⇔◊□P
化归规则：
“△1△2……△nP” 和 “△nP” 可以相互置换。
这一化归规则只属于 S5, 而不属于 S4 和 T
由于化归规则是一条等值置换规则，所以既可将它用于整个公式，也可将它用于部分公式。
构造反例
正如在命题逻辑和谓词逻辑中一样，为证明一个模态命题推论是无效的，我们只需给出该推论形式的一个反例。
具体反例
用具体命题对命题常项作解释的
抽象反例
用其他命题常项对某些命题常项作解释
构造抽象反例需要依据模态逻辑的一些基本假设
(i) 至少有一命题是偶然真的。
至少有一命题是真的并且满足◊¬P∧◊P
也即至少有一命题是偶然假的
至少有一命题¬P是假的并且满足◊¬P∧◊P
(ii)至少有一对命题是逻辑独立的
即至少有一对命题 P 和 Q 满足¬(P⇒Q)∧¬(Q⇒P)
在构造抽象反例时，以下重言式常常被用到：
(A∧¬A)∨B↔A∧¬A
(A∧¬A)∧B↔B
(A∧¬A)∧B↔A∧¬A
(A∧¬A)∨B↔B
最后需要指出两点。
其一是，以上介绍的构造反例的方法不能将 T、S, 和 S5 这三个不同的模态命题逻辑系统区别开来。 这种方法只能用于构造某些推论和公式的反例，即这些推论和公式在这三个系统中都是无效的。
其二是，构造抽象反例所依据的那些基本假设的不可拒绝性在于， 如果拒绝这些基本假设，那么就意味着否认偶然命题和逻辑独立命题的存在 如果没有偶然命题和逻辑独立命题，那么，模态逻辑也就没有必要建立了
各个系统的可能世界模型
可能世界之间的可达性关系
可达性
一个可能世界 可达另一个可能世界 W2, 当且仅当，W2 中的真命题在 W1中是可能真的。
W2相对于W1是可能的
可能世界之间的可达性关系并不一定是对称的。
一个命题相对于一个可能世界是必然的，当且仅当，在该可能世界可达的每一个可能世界中，该命题是真的。
一个命题相对于一个可能世界是可能的，当且仅当，至少在一个该可能世界可达的可能世界中，该命题是真的。
系统 T 的可能世界模型
既非对称性又非传递性但却具有自返性的可能世界模型中，系统T 的所有定理都成立
这三个可能世界之间的关系也不是传递性的：如果第一个可达第二个，第二个可达第三个，那么，并非第一个可达第三个。
系统 S4 的可能世界模型
具有传递性、具有自返性和非对称性
W3 可达 W2, W2可达 W1，因而 W3 可达 W1
系统 S5的可能世界模型
同时具有自返性、传递性和对称性
命题逻辑的元理论
？