1.4充分必要条件

这是一篇关于1.4充分必要条件的思维导图，先讲解逆命题的概念，把原命题 “若 p，则 q” 的条件和结论互相调换，就能够得到逆命题 “若 q，则 p”。充要条件指原命题与逆命题同时为真，p 可以推出 q，q 也可以推出 p，记作 p⇔q，此时 p 和 q 互为充要条件，做题时可以表述为 q 成立当且仅当 p 成立，要理解 p 成立和不成立分别对应的 q 的状态。判定充分必要条件主要有定义法和集合法两种常用手段，使用定义法时，先要分清题目当中的条件与结论，再判断 p 推 q、q 推 p 能否成立，根据推导结果区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要这四类情况。集合法把条件转化成集合，借助集合之间的包含关系来完成判断，小范围集合能够推出大范围集合，大范围集合不能推出小范围集合，集合之间子集、真子集、相等的对应关系，和各类条件可以一一对应。学习时需要记清推导符号含义，分清不同条件之间的区别，避开推导方向混淆这类常见错误，熟练掌握两种判定思路就可以处理各类命题相关习题。无论刚学习逻辑命题的高中生还是准备复习刷题的高考备考学生，都可以借助这份内容巩固充分必要条件相关知识点。

本节课注意事项

• 讲充分条件和必要条件的概念时，直接让学生记：条件推出结论时是充分性，结论推出条件时是必要性。不要记p推出q是充分性，q推出p是必要性，因为做题时候p,q位置会互换，学生就乱套了，不利于知识的掌握。
• 学生还是有点分不清楚谁是条件，谁是结论，讲课时重点墨迹
• 充要条件的证明题型少讲，一例一练就行

1.4充分必要条件

• 1、命题：
  • 定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题
  • 分类：
    • 真命题：判断为真的语句是真命题
    • 假命题：判断为假的语句是假命题
  • 结构：
    • “若p，则q” 或“如果p，那么q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论
  • 注意：
    • 1||| 并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题
    • 2||| 命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断
    • 3||| 命题真假判断
      • 数学中要判断一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明； 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可
• 2、充分条件 与必要条件
  • 充分条件
    • 定义：
    • 理解：
  • 必要条件
    • 定义：
    • 理解：

1.4充分必要条件

• 3、逆命题
  • 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题
• 4、充要条件
  • 定义
  • 注意：
    • 1||| “p是q的充要条件”意味着“p成立，则q一定成立； p不成立，则q一定不成立”
    • 2||| “p是q的充要条件”时，也可以说成“q成立当且仅当p成立”
• 5、充分必要条件 判定方法
  • （1） 定义法：
    • 步骤：
    • 结论：
  • （2） 集合法
    • 注意：小范围可以推出大范围，大范围不可以推出小范围

1.4充分必要条件

• 6、“判定定理”和“性质定理” 与充分条件、必要条件的关系
  • 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件
  • 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件
• 7、两个特征
  • 对称性: 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件
  • 传递性：

1.4充分必要条件

• 8、 题型
  • 类型一 充分条件的判定
    • 定义法
    • 集合法
  • 类型二 必要条件的判定
    • 定义法
    • 集合法
  • 类型三 根据充分条件、必要条件求参数
    • 方法点拨----转化为两个集合间的包含关系，并建立关于参数的 方程（组）或不等式（组）
  • 类型四 充要条件的判定
  • 类型五 充分性必要性的判定
    • 充分不必要条件
    • 必要不充分条件
    • 充要条件
    • 既不充分也不必要条件
  • 类型六 充要条件的证明
    • 1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方 向进行证明， 即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． 2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的
  • 类型七 充要条件的探求
    • (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件； 再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时 也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和 必要性分开来证.
  • 类型八 充分条件、必要条件中的数学文化

1.4充分必要条件

• 8、 题型
  • 类型一 充分条件的判定
    • 定义法
      • 1判断（1）（4）类一例1（1）（2）跟练（1）（2）（3）作六3 11 13
    • 集合法
      • 练：3 类一例1（3）（4）作六5
  • 类型二 必要条件的判定
    • 定义法
      • 练：1判断（3） 2、类二例2（1）（2）（3）作六1 4
    • 集合法
      • 练：1判断（2）类二跟2（1）（2）（3）作六2
  • 类型三 根据充分条件、必要条件求参数
    • 方法点拨----转化为两个集合间的包含关系，并建立关于参数的 方程（组）或不等式（组）
    • 类三例3 跟3 作六8 10 14
  • 类型四 充要条件的判定
  • 类型五 充分性必要性的判定
    • 充分不必要条件
      • 作六6 二节练2 作七1 9（1）（2）
    • 必要不充分条件
      • 作七3 5 8作七 9（3） 11
    • 充要条件
      • 二节练3 类一1 2 作七2 4 7 9（4）
    • 既不充分也不必要条件
  • 类型六 充要条件的证明
    • 1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方 向进行证明，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． 2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的
    • 二节 类型二例1 跟1 作七10
  • 类型七 充要条件的探求
    • (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.
    • 二节类型三例2
  • 类型八 充分条件、必要条件中的数学文化
    • 探究窗典例 针对训练