线性代数思维导图

线性代数第一章思维导图，讲述了二阶三阶行列式、n阶行列式、行列式的性质、行列式按行展开、克莱姆法则等内容。

第一章 行列式

• 二阶，三阶行列式
  • 二阶行列式
    • 定义
    • 对角线法则
  • 三阶行列式
    • 定义
    • 计算法则
      • 对角线法则
        • 对角线法则不适用于四阶以上的行列式
      • 沙路法则
• n阶行列式
  • 排列与逆序
    • n阶全排列定义
    • 逆序数定义
    • 排列的奇偶性
    • 对换
      • 做一次对换会改变该排列的奇偶性
  • n阶行列式
    • n阶行列式的定义
    • 几类特殊的行列式
      • 对角行列式
      • 上三角行列式
      • 下三角行列式
• 行列式的性质
  • 性质一 行列式转置后，其值相等
    • 行与列具有相同性质，相同地位
  • 性质二 交换行列式的两行（列），行列式变号
    • 推论一 两行相同，行列式为零
  • 性质三 按行（列）提取公因式
    • 推论二 若行列式中有一行为零，则该行列式为零
    • 推论三 行列式两行对应成比例，行列式的值为零
  • 性质四 某一行都是两数之和，则可拆成两个行列式的和
  • 性质五 某一行所有元素乘以常数k加到零一行的对应元素上，行列式值不变
• 行列式按行（列）展开
  • 余子式和代数余子式
    • 余子式
      • 定义
    • 代数余子式
      • 一个元素的代数余子式，只与该元素的位置有关，与该元素的取值无关
      • 定义
  • 行列式展开定理与零值定理
    • 展开定理
      • 行列式等于它任意一行（列）个元素与其对应的代数余子式的乘积
      • 引理二 行列式第i行的所有元素处aij外都为零，则该行列式等于aij与他的代数余子式的乘积
      • 降阶法 利用性质，将行或列大部分元素化为零，按行列展开行列式，计算行列式同时降阶
    • 零值定理
      • 行列式某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于0
• 克莱姆法则
  • 克莱姆法则定义
  • 非齐次方程组与其对应的齐次方程组解的判定
• 综上 行列式值为零的情况为
  • 两行相同，值为零
  • 有一行（列）为零，值为零
  • 两行（列）对应成比例，值为零