初一数学导图笔记

下图整理了初一上册数学第一单元内容，包括正数和负数、有理数、有理数的加减法、有理数的乘除法、有理数的乘方。

有理数

• 1.3有理数的加减法
  • 1.3.1有理数的加法
    • 类型二
      • 同号两数相加：（+3）+（+5）=+8 （-3）+（-5）=-8 （-6）+（-2）=-8
      • 结论
        • （2）负+负：当a<0，b<0时，a+b=-（|a|+|b|）
        • （1）正+正：当a>0，b>0时，a+b=（|a|+|b|）
        • 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加
    • 类型三
      • 异号两数相加：（+5）+（-3）=2 （-5）+（+4）=-1
      • 结论
        • 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把较大绝对值减去较小绝对值
        • （1）当a>0，b<0时，|a|>|b| a+b=|a|-|b| 当a>0，b<0时，|a|<|b| a+b=-(|b|-|a|) 当a>0，b<0时，|a|=|b| a+b=0
        • (2)当a<0，b>0时，|a|>|b| a+b=-(|a|-|b|) 当a<0，b>0时，|a|<|b| a+b=|b|-|a| 当a<0，b>0时，|a|=|b| a+b=0
    • 类型一
      • 有一个加数为0：0+0=0 (-5)+0=-5 0+(-3)=-3
      • 结论
        • a+0=a（a为有理数)
    • 加法交换律
      • a+b=b+a（a、b为有理数）
    • 加法结合律
      • （a+b）+c=a+(b+c)
  • 1.3.2有理数的减法
    • 法则
      • 减去一个数，等于加上这个数的相反数 a-b=a+（-b）
    • 步骤
      • （1）将减法转化为加法运算；
      • （2）省略加号和括号；
      • （3）运用加法交换律和加法结合律，将同号两数相加；
      • （4）按有理数加法法则计算
    • 求差比较法
      • a>b↔️a-b>0
      • a=b↔️a-b=0
      • a<b↔️a-b<0
• 1.4有理数的乘除法
  • 1.4.1有理数的乘法
    • 乘法法则
      • 类型一
        • a•0=0
      • 类型二
        • 当a>0，b<0时 ab=|a|×|b|
        • 当a<0，b<0时 ab=|a|×|b|
      • 类型三
        • 当a>0，b<0时 ab=-|a||b|
        • 当a<0，b>0时 ab=-|a||b|
    • 倒数
      • a•b=1↔️ab互为倒数
      • 1，-1的倒数是其本身
      • 0没有倒数
      • a→1/a（a≠0） 倒数
    • 乘法交换律
      • ab=ba
    • 乘法结合律
      • a(b+c)=ab+ac
  • 1.4.2有理数的除法
    • 法则
      • 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
        • a÷b=a•1/b（b≠0）
      • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以一个不等于0的数，都得0
• 1.5有理数的乘方
  • 1.5.1乘方
    • （-1）^n=
      • 1，n为偶数
      • -1，n为奇数
    • a^0=1（a≠0）
  • 1.5.2科学计数法
    • 10^n=100…0（n个0），n恰好是1后面0的个数
    • 10^n=100…0（n+1位数）
• 1.2有理数
  • 1.2.1有理数
    • 有理数
      • 正有理数
        • 正整数
        • 正分数
      • 负有理数
        • 负整数
        • 负分数
      • 0
    • 有理数
      • 整数
        • 正整数
        • 负整数
        • 0
      • 分数
        • 正分数
        • 负分数
  • 1.2.2数轴
    • 剖析概念
      • 规定了原点、正方向，单位长度的一条直线叫做数轴
    • 数轴的画法
      • （3）选取适当的长度作为单位长度，从直线上原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1、2、3……；从原点向左，用类似方法依次表示-1、-2、-3……
      • （2）通常规定直线上从原点向左（或上）为正方向，从原点向右（或下）为负方向；
      • （1）在直线上任选一个点，表示数0，这个点叫做原点；
      • 注
        • （1）原点的选取
        • （2）单位长度的选取。
  • 1.2.3相反数
    • 在数轴上表示a的相反数
      • （3）a为负数时；-a为正数，既负数的相反数是正数
      • （1）a为正数；-a为负数，既相反数是负数
      • （2）a=0时；0的相反数是0，既-a=0
    • 几何意义，数形结合
      • （1）互为相反数的两点关于原点对称 e.g -5和+5
      • （2）两点关于原点对称，则这两点表示数互为相反数
    • 代数意义（定义）
      • 像3和-3，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0。
    • 补充定义：关于原点对称
      • （1）两点在原点左右两边；
      • （2）两点到原点距离相等；
    • 多重符号的化简
      • 奇负偶正
  • 1.2.4绝对值
    • 比大小
      • 说明：
        • （1）异号两数→看符号
        • （2）同号两数：
          • 同为正号，|a|>|b|，则a>b
          • 同为负号，|a|>|b|，则a<b
      • （1）规定：（数轴比较法）
      • （2）（直接比较法）
        • 一般地，
          • （1）正数大于0，0大于负数；
          • （2）两个负数，绝对值大的反而小
    • 剖析概念（几何意义）
      • 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值。用“|a|”表示，读作“a的绝对值”。特别地，|0|=0。
    • 重要结论
      • 一个负数的绝对值是其相反数；
        • 当a<0时，|a|=-a
      • 0的绝对值为0
        • 当a=0时，|a|=0
      • 一个正数的绝对值是其本身；
        • 当a<0时，|a|=a
      • |a|≥0，非负性
• 1.1正数和负数
  • 正负数的定义
    • 我们知道，像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫正数。像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数(小于0)
  • 0的定义
    • 0是正数与负数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是没有。
  • 解题方法
    • 1、找问题中具有相反意义的量的词语
    • 2、我们指定一方用正方表示，那么另一方就用负数表示