随机概率知识导图

本导图梳理了随机事件极其概率的内容，包括条件概率、随机试验、事件的关系与运算、事件的独立性、贝努力概型、古典概率、几何概率等。

随机事件极其概率

• 随机试验
  • 自然现象｛确定性现象 非确定现象(随机现象)
  • 确定性现象
  • 例如：太阳一定东起西落 水在标准大气压下加热到100度必然沸腾等等
  • 随机现象
  • 例如：抛掷一个硬币可能是正面，也可能是反面 某医院一天内接到的急救电话数
  • 为了研究随机现象统计的规律性，就要对客观事物进行观察，这一过程叫做试验。 概率论所讨论的试验，成为随机试验，通常用字母E来表示，具有以下三个特点
  • 在相同条件下试验可以重复进行 每次实验的结果不止一个 每次实验不确定会出现哪个结果，但知道他可能出现哪些结果
• 事件的关系与运算
  • 1. 事件的包含与相等
  • 子主题若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作A⊂B, 如图1-1(a)所示.若A⊂B且B⊂A, 则称事件A与B相等,记作A=B.
  • 2. 事件的和
  • 事件A与事件B中至少有一个发生” 这一事件称为事件A与B的和事件, 记作A∪B,即A∪B={ω|ω∈A或ω∈B} ,A∪B的几何表示如图1-1(b)所示.
  • 3. 事件的积
  • 事件A与事件B同时发生” 这一事件称为事件A与B的积事件, 记作A∩B或AB,即A∩B={ω|ω∈A且ω∈B} ,A∩B的几何表示如图1-1(c)所示.
  • 4. 事件的差
  • “事件A发生而B不发生” 这一事件称为事件A与B的差事件, 记作A-B(或A\B)，即A-B={ω|ω∈A且ω∉B} ,几何表示如图1-1(d)所示.
  • 5. 互不相容关系
  • 若A∩B=⌀,则称事件A与事件B互不相容( 或互斥),几何表示如图1-1(e)所示.
  • 6. 对立事件
  • 设A表示事件A发生, 则A不发生称为事件A的对立事件, 记作A,几何表示如图1-1(f)所示.显然A∪A= Ω,A∩A=⌀,A=A.因此,对立事件一定是互不相容事件, 但互不相容的两事件不一定是对立事件.事件运算满足以下规律:
  • (1)交换律: A∪B=B∪A, A∩B=B∩A (2)结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3)分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (4)对偶律: A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
  • 子主题
• 频率与概率的公理化定义
  • 频率与频率的稳定性
  • 概率的公理化定义
  • 定义2设E为随机试验,Ω是它的样本空间.对于E中的每一事件A, 令其对应一个实数P(A),如果P(A)满足以下公理:
  • (1)非负性: P(A)≥0; (2)规范性: P(Ω)=1; (3)可列可加性: 若事件A1,A2,…两两互不相容, 则P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…. 那么称P(A)为事件A发生的概率.
  • 以上公理被称为概率的公理化定义, 是苏联数学家柯尔莫果洛夫在1933年提出的, 由以上公理不难推出概率的以下性质
  • 概率的性质
  • 子主题
  • 子主题
  • 子主题
  • 子主题
  • 子主题
• 古典概率
  • 定义在古典概型中, 对于任意事件A, 其概率为 P(A)=事件A中包含的样本数 ／Ω中包含的样本点总数=k/n
• 几何概率
  • (1)有一个可度量的几何图形Ω, 试验结果可归结为在Ω中随机投一点ω,即Ω为样本空间, 事件A就是所投掷的点落在Ω的可度量图形A中. （2）随机点ω落在Ω中任意一个位置是等可能的
  • 对于几何概型 A发生的概率为 P(A)=μ(A)／μ(Ω) 其中μ表示度量,即长度、面积、体积,且μ(Ω)>0
• 条件概率
  • 定义1：设E是随机试验,Ω为E的样本空间, A、B为E的两事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=P(AB)／P(A)
  • 类似地,若P(B)>0,则同理可得事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率为P(A|B)=P(AB)/P（B）
  • 定理1：设A,B为事件,且P(A)>0 ,则P(AB)=P(A)P(B|A).
  • 推论：设Ai为事件(i=1,2,…,n,n≥2),且P(A1A2…An-1)>0, 则P(A A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
• 全概率公式和贝叶斯公式
  • 定义：设E为试验,Ω为E的样本空间,1,2,…,n为E的一组事件, (1)Bi∩Bj=⌀(i≠j,i,j=1,2,…,n); (2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω.则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分或分割.若B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分,那么对每次试验,B1,B2,…Bn中必有一个且仅有一个发生.
• 事件的独立性
• 贝努力概型