逻辑代数知识导图

数字电路第二章逻辑代数，知识内容有逻辑代数含义、基本运算、常用公式、逻辑函数及表示方法、逻辑代数的基本原理等。

2.1 逻辑代数

• 数字电路分析设计工具：逻辑代数
• 逻辑代数
  • 逻辑：事物之间的因果关系
  • 逻辑代数（布尔代数）：逻辑运算的数学方法
  • 数字电路中的逻辑代数：二值逻辑（逻辑变量只取0和1）
  • Claude Shannon发现布尔代数和电话交换电路之间 存在相似性  1937年Shannon在他的MIT硕士论文“A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits” 中提 出了二值电子元件，奠定了数字电路的理论基础
• 基本运算
  • 三种基本运算
  • 几种常用的复合逻辑运算
    • 与非
      • 
    • 或非
      • 
    • 与或非
    • 子主题
• 基本公式和常用公式
  • • 证明A + B C = (A +B)(A +C)
    • 证明(A B)′ = A′ + B′ 使用穷举法
  • • 证明2:A(A+AB)=（A+AB)（A+B）=A（用到了公式1）
    • 证明4：用公式1
    • 证明5：A B + A′ C + B CD =A B + A′ C + B C+BCD=A B + A′ C + B C=A B + A′ C
    • 6证明：A(AB)*=A(A*+B*)=AA*+AB*=0+AB*=AB*;A*(AB)*=A*(A*+B*)=A*+A*B*=A*(1+B)=A*
• 逻辑代数的基本定理
  • 1. 代入定理
    • 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。
  • 2. 反演定理
    • 子主题
  • 3. 对偶定理
    • 子主题
• 逻辑函数及其表示方法
  • • 子主题
    • 子主题
  • 表示方法的转换
    • 
  • 逻辑函数的公式化简法
    • 1. 逻辑式的最简形式
      • 1包含的与项最少
      • 2每个与项的因子也已经最少
    • 2、公式化简法
      • 子主题
      • 子主题
• 逻辑函数的最小项之和标准形式
  • 1. 最小项 n变量逻辑函数的最小项m：
    • 1最小项的性质
      • 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1
      • 全体最小项之和为1
      • 任何两个最小项之积为0
      • 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 相邻：仅一个因子不同的最小项
  • 2. 与或式----最小项之和
• 逻辑函数的最大项之积标准形式
  • 1、最大项，n变量逻辑函数的最大项M：
    • 子主题
    • 子主题
    • 1、最大项的性质：
      • 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；
      • 全体最大项之积为0
      • 任何两个最大项之和为1
      • 两个相邻的最大项之积可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 相邻：仅一个因子不同的最大项,如
  • 2. 或与式--最大项之积
• 最小项和最大项的关系
  • • • 子主题
• 逻辑函数的卡诺图表示
  • 1什么叫卡诺图
    • 逻辑函数最小项之和的一种图形表示
    • 用2*n个小方格分别代表n 变量的所有最小项， 并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的 两个最小项在逻辑上也是相邻的
  • 2. 卡诺图表示方法
    • 子主题
      • 00\01\11\10格雷码
    • 子主题
    • 相邻关系：
      • 一是相接，即上下或左右紧挨着；
      • 二是相对，即任意一行或一列的两端；
      • 三是相重，即对折起来位置重合。
  • 3. 用卡诺图表示逻辑函数
    • 第一步、将逻辑函数表示为最小项之 和的形式；
    • 第二步、在卡诺图上与这些最小项对 应的方格上填入1，其余方 格填入0。
    • 用卡诺图表示逻辑函数（简化方案）
      • 1，确定使每个与项为1的所有输入变量取值，并在卡诺图上对应方格填入1
      • 2，其余的方格填入0(或不填)
      • 子主题
    • 逻辑函数的卡诺图化简法
      • step1,两个相邻最小项可合并为一项，消去一个因子
        • 子主题
      • step2,四个相邻最小项可合并为一项，消去两个因子
        • 子主题
      • step3,八个相邻最小项可合并为一项，消去三个因子
      • 卡诺图化简的原则
        • 子主题
          •  与项的数目最少，即圈成的矩形数最少；
          •  每个与项的因子最少，即圈成的矩形最大；
          •  保证每个圈中至少有一个“1”只被圈过一次，否则该圈是多余的。
            • 指的是被圈过的 1 相互之间不能成圈，但是被圈过的和没圈过的可以成圈
            • 子主题
        • 化简不唯一
    • 具有无关项的逻辑函数及其化简
      • 约束项：逻辑函数中对输入变量的取值有限制，与这些被限制的取值对应的最小项称为约束项
      • 任意项：在输入变量某些取值下，函数值为1或0不影响逻辑电路的功能，与这些取值对应的最小项称为任意项
      • 无关项：约束项和任意项统称为无关项，它们可以写入逻辑式，也可以不写入逻辑式。
      • 合理地利用无关项，可得更简单的化简结果
      • 加入无关项，应使化简后的项数最少，每项的因子最少
      • 从卡诺图上直观地看，加入无关项，应使矩形圈最大，矩形数最少
• 浮动主题
  • 子主题