导图社区 数学.导图
数学知识点，从算术、代数、几何、数据分析几个方面作了介绍，几何中，要注意图形字母的顺序，数学语言的转换，真题特点：隐含的等价条件需要转化为所学的考点。
包含写作题干类型、观点辨析性写作、材料型写作、常用话题、写作中会涉及的经济学与心理学相关原理等等。
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数学
算术
实数、比例、绝对值
应用题
代数
代数式和函数
有理式及运算 集合 函数
方程和不等式
方程 不等式 均值不等式
数列
一般数列 等差数列 等比数列 数列应用题
几何
平面几何
解析几何
立体几何
数据分析
排列组合
概率初步
数据描述
1.几何中，要注意图形字母的顺序 2.数学语言的转换，真题特点：隐含的等价条件需要转化为所学的考点。
先把错误选项打叉，排除掉，以免考场紧张误选
实数与绝对值
实数
实数分类
实数运算
有理数运算
奇偶数运算
余式定理
比例定理
公因数
公倍数
绝对值
绝对值性质
等价性
自比性
非负性
绝对值函数
路程问题
个人薄弱点
匀速
变速度/变效率问题
图像
相遇、追击问题
直线追击
圆圈追击
场景：操场、圆形公园
甲第一次追上乙=甲比乙多跑一圈
注意若规定甲与乙同时从A地同相出发，且已知甲和乙的的速度，若要求甲在A在第1次追上乙是，乙跑了多少圈？
效率问题
变效率问题
集合
两个几何问题
三个集合问题
微观
中观
宏观
注意题干是否有“只，仅”
进水出水问题
若总量未明确时，可假定总量为“1”
若总量给出，则需要设进水，出水的各自效率
至多至少问题
解题思路
反面扣分法
成绩/得分问题
极值思想
平均值原理
分蛋糕原理
某对象最多（少）转化为其余对象最少（多）
跷跷板原理
等式中，涉及到至多至少问题
转化为最值思想
注意：数学语言的转化
种树问题
封闭空间种树
开放空间植树
年龄问题
差值恒定
浓度问题
等量置换
溶质溶液某个量发生变化，另一个量不变
溶液配比
交叉比例法/杠杆原理
线性规划问题
交点取最值
交点为整数
直接代入方程求解
交点不为整数
在解两端左右取值，找最优解
分段计费
题型分类
简单
利润、增长率问题、年龄、植树、分段计费
中等
工程问题、效率问题（进水出水）问题、路程问题、浓度问题、至多至少、集合问题、行船问题（顺水逆水）
复杂
线性规划问题、最值问题，不定方程、其它
增长率问题
连续变化率
恢复原价问题
不定方程
分式不定方程
去分母，移项整理，讨论取值。
整式不定方程
根据取整数，奇偶性，倍数，质数，合数等性质进行求解
已知总量求部分量
利润问题
行船问题
顺水
逆水
其他问题
反推思路
代数式
因式定理
立方和公式
性质
函数
一次函数
一元一次函数
二元一次函数
一元二次函数
上加下减，左加右减
两点式
标准式
复合函数
解题思路：换元法
注意定义域和值域
单调性：同加异减
对数
运算法则
指数
表达式
其他函数
周期函数
奇函数，偶函数
反比例函数
出题方向——如: 在反比例函数的一支上有两点，求两点与原点围成的三角形面积
对勾函数
不等式性质
同向可加性
同正可乘性
次幂
三角不等式
均值不等式
柯西不等式
一般
扩展式
高次不等式
应用
求最值
线性规划
恒成立的不等式
一般数列
有的数列没有表达式，有的数列可以有多个表达式。
裂项公式
分式
阶乘
根式
简单的递推公式
累加——形如：
类等差数列
累乘——形如：
类等比数列
错位相减
等差数列与等比数列同时出现时
构造新数列
待定系数法（构造等比数列）
两两配对
出现一正一负时，且一正一负相加为一定值。
等差数列
第n项的表达式
可以将其看为关于n的一次表达式
前n项和的表达式
第3个表达式可以将其抽象为关于n的一元二次方程对称轴：
若m+n=p+q，
注：m、n、p、q均为正整数
若Sn为等差数列的前n项和，则
成等差数列，公差为
结论
在等差数列中，若m≠n，且有
则，
若一个数列既为等差数列，又为等比数列，则此数列为常数列。
、
前n项和最值情况
等比数列
通项公式
公比≠0，且任一项≠0
公比≠1，且任一项≠0
所有项和
只有对于无穷等比数列才有所有项和，即
公式：
注：等差数列不存在所有项和。
求通项公式的方法
累加法
累乘法
待定系数法
分类讨论法
数列的实际应用
增长率
银行信贷
溶液溶度
直线
平行
平行于同一条直线的两条线互相平行， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
有平行关系，找相似
相交
注：特殊的相交关系：垂直
90°
角
同位角相等，同旁内角互补，内错角相等
三角形内角和为180°， 四边形内角和为360°， 多边形的内角和公式（n-2）*180°
正弦定理
三角函数值
三角形
角度分类
钝角三角形
直角三角形
射影定理
勾股数
3、4、5
6、8、10
9、12、15
5、12、13
8、15、17
7、24、25
直角三角形斜边上的中线=斜边的一半
锐角三角形
三边关系
一般三角形
等腰三角形
注意底角为30°的等腰三角形
等腰直角三角形
顶角为120°的等腰三角形
角边关系
面积公式
海伦公式：
面积与边长的关系
周长
三角形全等（S.S.S）、（S.A.S）、(A.S.A)、(A.A.S)、(H.L)
折叠，对称
三角形相似
I. 两个角对应相等
II. 两条边对应成比例，一个角对应相等
III. 三条边对应成比例
IV. 平行于三角形一条边，且相较于另两条边，则此三角形与原三角形相似
三角形重心的重要性质
三角形的重心到三角形三个顶点的距离之和最小
重心把三角形的中线分成2:1
三角形重心坐标
三角形重心分得的3个三角形面积相等
重心是三角形内到三边距离之积最小的点
鸟头定理
定义：两个三角形有一个公共角或这个角互补，则这两个三角形叫做共角三角形
利用鸟头定理求面积/面积比
燕尾定理
出现三角形内一点到各顶点的连线，考虑燕尾定理
三大定理
圆
周长公式
扇形
1. 面积公式=
2. 弧长公式=
重要定理
四边形
平行四边形
考点：平行四边形的对角线互相平分
题干若无特殊说明，可以将平行四边形特殊化为长方形/正方形/菱形
长方形
对角线互相平分
正方形
四条边相等，四个角均为90°的平行四边形
对角线互相垂直且相等
菱形
四条边都相等，且对角线相互垂直的平行四边形
梯形
蝶形定理
任意四边形
求阴影部分的面积——常用图形
多边形中，注意题干给出的字母顺序
直线的解析式
一般式
斜截式
点斜式
k要存在
截距式
截距式不能表示平行于x轴和平行于y轴以及过原点的直线。
k的取值
顺时针旋转，K的取值减少
逆时针旋转，k的取值增大
注：当k＜0时，k越大，则k的绝对值越小。
夹角公式
圆的表达式
化成标准式
注意无交点和有交点的区别
有交点
一个交点+两个交点 即：外切+内切+相交
无交点
外离+内含
注意有交点和无交点
2个交点+1个交点 即：相交+相切
垂直
k不存在时，另一条直线的斜率为0
对称
点关于点对称
点关于直线对称
直线关于直线l=ax+by+c对称
若该直线与对称直线有交点，求对称直线的方程。
先求交点坐标，再在该直线上随意找一点，根据点到直线对称点的求法，求出对称直线上的一点，与交点联立，求出对称直线方程。
若该直线与对称直线平行，求对称直线的方程。
圆关于直线对称
解析几何绝对值
图形面积
b、d只影响图形的中心位置，不影响图形的面积
图形
a=b, 正方形
a≠b，
a,b＞0
过圆上某点的切线方程，圆的方程为：
这点坐标为：
则此直线方程为：
解析几何最值
出题思路
一个距离求最值
两个距离之和求最值
动点多边形运动求最值
动点在圆上的时候求最值
解析几何的最值求解思路
几何法
代数法
画图法
圆柱
表面积
体积
侧面展开图是正方形的圆柱为等边圆柱
轴截面是正方形的圆柱才有内接圆
正方体
内切球
半径
外接球
内切球与外接球半径之比：
正方形内切球与外接球的表面积之比：
正方体内切球和外接球的体积之比：
正方体和外接球的表面积之比：
长方体
图形的切割：每切割一次增加两个面
球
立体几何的实际应用问题
正三棱柱
底面为等边三角形的棱柱
加法原理
本质：分类
类与类之间相互独立，互不影响
乘法原理
本质：分步
步与步之间相互独立，互不影响
排列
含义
排列数
组合
组合数
方法
捆绑法
相同元素隔板法
不可空
可空
方幂法
不同元素分给不同对象，允许空
信和信封
人和房
冠军和人
分组分堆法
分组问题
无组名（组与组无区别）
单一元素分组
组和组成员数量都确定
注：当组的成员数量为“1”时，可以用简写法，如：
组或组员数量不确定时
先按数量进行分类，将数量明确后，再写表达式。
多元素分组
注：1、当多类元素等量分组时，只需要除于一个阶乘即可。 2、每类数量都是不等分时，分完不用再除于阶乘。
有组名（组与组有区别）——先分组再排序
注：当有确定元素存在时，确定元素不参与分组，不用除法。
列举法
反面法
题型
排队问题
同排
不同排
数字问题
奇偶性
倍数关系
数字排序
从个位到高位讨论
涂色问题
非环形涂色
分类讨论即可
环形涂色
环排问题
物体环排
人环排
相邻不相邻问题
相邻问题
不相邻问题
两类元素都不相邻
不对号问题
配对问题
有双先凑双，取单直接来
部分定序
消序
概率
古典概率
一次取样
多次取样
不放回取样
放回取样
独立事件
对立一定互斥，但互斥不一定对立。
伯努利公式
几何概率
