气体动理论

大物第五章学习笔记，介绍了平衡态 理想气体物态方程、理想气体的微观模型、麦克斯韦速率分布律、分子碰撞和平均自由程、理想气体的压强和温度公式等方面做了阐述。

气体动理论

• 平衡态 理想气体物态方程
  • 平衡态
    • 定义：孤立系下，系统的宏观性质不随时间变化的状态
      • 热平衡：温度处处平衡一致
      • 力学平衡：受力处处平衡
      • 化学平衡：内部各组分化学成分一致
    • 宏观性质不随时间变化
    • 微观情况下分子在做永不停息的无规则运动，但宏观表现不随时间变化
    • 注意：平衡态是一个理想模型，是对实际情况的概括和抽象
  • 准静态过程
    • 过程进展得十分缓慢，所经历的一系列中间状态都无限接近平衡状态
    • 弛豫时间：从非平衡态到新的平衡态所需的时间
      • 宏观过程变化的很慢（与弛豫时间相比），为平衡过程
      • 系统宏观变化比弛豫时间更快时，为非静态过程
  • 状态参量：用一些物理量表示物体的有关特性
    • 气体所占的体积V
      • 气体分子所能到达的空间
      • 单位：立方米
    • 压强p
      • 气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的垂直作用力
      • 单位：Pa
    • 温度T或t
      • 宏观上：表示物体的冷热程度
      • 微观上：平均平动动能的量度
      • 单位：K
  • 理想气体物态方程
    • 根据实验数据表明，理想气体遵循波义耳定律，盖吕萨克定律和查理定律
    • pV=m/M RT 其中R为普适气体常量，等于8.31
    • 注意
      • 只适用于平衡态
      • 非理想气体不遵守
      • p V T两个独立变量
• 理想气体的微观模型
  • 气体分子热运动特征
    • 永恒运动 频繁碰撞
    • 通过布朗运动，反映出流体分子热运动的情况
    • 由于分子热运动的特征
      • 表征个别分子性质的物理量叫微观量
      • 表征大量分子集体特征的量为宏观量
    • 统计规律的特点
      • 用大量分子的平均性质代表个别分子的真实性
      • 统计规律具有涨落性
  • 理想气体微观模型
    • 根据基本特征，先做出如下假设
      • 分子大小可忽略不计，因为气体分子分子间距离相比直径远得多
      • 分子力作用距离很短，因此除了碰撞外，不考虑分子间相互作用力
      • 碰撞可看作完全弹性碰撞
      • 总之，可将其假设为自由运动的质点系
    • 关于统计性的假设
      • 分子数密度n在空间处处相等
      • 气体分子沿空间各个方向运动概率相等，所以沿各个方向的平均值相等
      • 分子速度分量平均值相等
• 理想气体的压强和温度公式
  • 理想气体压强公式推导
    • 选取边长l1 l2 l3 的长方体容器，N个同类气体分子 每个分子质量m0
    • 分子a以速度vx撞击A1面，以速度-vx弹回，动量为-2m0vx、
    • 弹回去再弹过来，所走的路程为2l1，所需时间2l1/vx，故单位时间内碰撞vx/2l1
    • 根据冲量定理，作用在A1上的力是2m0vx vx/2l1
    • 最后对他们进行求和，可算出气体动理论的压强公式：p=2/3nEk
  • 温度的本质和统计意义
    • 本质
      • M=NAm0 m=Nm0 将这两个代入理想气体物态方程中，可得出温度的表达式
      • p=nkT k表示玻尔兹曼常量
      • Ek=1/2m0v2=3/2kT
    • 统计意义
      • 气体的温度是气体分子平均平动动能的量度
      • 因此，温度是表征物体处于热平衡状态时冷热程度的物理量
  • 气体分子的方均根速率
    • 计算时表示的是平方的平均再开根号
    • 相同温度时虽然各种分子的平均平动动能相等，但他们的方均根速率不一定相等
• 分子碰撞和平均自由程
  • 分子碰撞的研究
    • 气体分子速率很快，但是很多现象并不是一瞬间完成的
    • 因此对于热现象的研究，不仅要考虑分子热运动，还有分子碰撞这一因素
    • 平均碰撞频率：单位时间内一个分子和其他分子碰撞的平均次数
    • 平均自由程：每两次连续碰撞间一个分子自由运动的平均路程
  • 平均自由程公式
    • 假设
      • 每个分子都是直径为d的小球
      • 除一个分子外其他分子静止不动，那个分子以平均相对速率运动
      • 作的都是弹性碰撞
    • 推导
      • 其实在做一个长度为vr 横截面为Πd2的圆柱体，不需要对体积进行修正
      • 平均碰撞频率Z=Πd2vrn=根号2Πd2vn
      • λ=v/Z=kT/根号2Πd2p 这个为平均自由程
• 麦克斯韦速率分布律
  • 气体分子速率分布函数
    • 需要将速率按其大小分成若干个区间，由此可精确的定义分布情况 f(v)=dN/Ndv
    • 分子速率分布函数
      • 在速率v附近的单位速率区间内分子数占总分子数的比率
      • 它表示分子速率在v附近单位速率区间内的概率
      • f(v)也表示分子速率分布的概率密度
    • 归一化条件
      • 在0到∞区间内所围成的面积是1
  • 麦克斯韦速率分布律
    • 麦克斯韦从理论上导出了f(v)的具体形式
    • 从曲线中可以看出
      • 气体分子速率可以取大于0的一切可能数值
      • 不同区间内的分布百分率也不同，面积越大速率值的概率越大
      • 概率总和符合归一化条件，应等于1
      • 最概然速率：在一定温度下，速度大小与vp相近的气体分子百分率最大
      • 温度升高时，最概然速度升高，但是高度降低
      • 由此，最概然速率大小反映了速率分布无序性的大小
  • 分子速率的统计平均值
    • 利用麦克斯韦速率分布函数，可以计算分子的统计平均值
    • 平均速率 方均根速率 最概然速率
• 能量均分定理 理想气体的内能
  • 分子的自由度
    • 气体分子的结构实际上比较复杂，不能被看做质点
    • 单原子分子可以看作质点，有3个自由度
    • 直线型分子连线时需要2个独立坐标，因此为5个自由度
    • 多原子分子就需要6个自由度 分别是平动的3个和转动的3个
    • 大多数情况下分子的振动可以不用考虑、
  • 能量按自由度均分定理
    • 1/2m0v2=3/2kT 又因为v2=vx2+vy2+vz2
    • 这样即可表示分子的平均平动动能是均匀的分配在每一个自由度上的
    • 因此可以推广，气体分子任一自由度的平均动能都是1/2kT
    • 故每个分子平均总动能为Ek=i/2kT
    • 若考虑振动，每个振动自由度除了动能外，还有平均势能，所以是2s
  • 理想气体的内能
    • 气体分子的能量以及分子与分子之间的势能构成气体内部的总能量
    • E0=NA(i/2kT)=i/2RT
    • E=m/M i/2RT 理想气体的内能
    • 由此可知，一定量的理想气体的内能完全取决于分子运动自由度和温度