导图社区 《微积分的力量》
《微积分的力量》一书讲述了阿基米德、运动定律、微分学的黎明、微积分的运用、变化率和导数、函数、芝诺三悖论。
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《微积分的力量》
三个谜题促进了微积分发展
曲线
运动
变化
芝诺三悖论
二分法悖论
阿喀琉斯追乌龟悖论
否定时空连续，意味着时空可被无休止分割
外框飞矢不动悖论
否定时空离散，意味着有不可分割的单元
最小的空间长度是普朗克长度
阿基米德
最与众不同的策略
把数学与物理融合在一起
夹逼法
多边形近似圆周，夹逼得到圆周的近似范围
《抛物线求积法》
计算抛物线弓形
采用双重归谬法（或叫双重反证法）
结论：抛物线弓形的面积是大三角形（顶点是切点）的4/3
阿基米德方法：使用实无穷把图形转换成重量，利用杠杆原理“称量”得到等量
立体主义证明：把曲线图形分解成碎片三角形之和
运动定律
伽利略
下落运动的奇数定律
开普勒
开普勒三定律
开普勒第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运行
开普勒第二定律：当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在等时内扫过相等面积
开普勒第三定律：行星公转周期平方与该行星到太阳平均距离立方成正比（T²=a³，a定义为最近与最远距离的平均）
微分学的黎明 （代数）
历史发展先积分后微分
因为微分起源于代数
符号化的代数+几何=解析几何
解析几何
费马&笛卡尔：因为谁先发明了解析几何坐标法而争执
分析法：从结果往回逆构
综合法：从给定条件往前推理
费马关于优化的问题
行李箱优化问题
其他人利用费马的优化方法 得出的数据编码优化方法
采样、压缩、拟合
子波——帮助美国联邦调查局快速检索指纹
最短时间原理
证明了正弦定律是光经过的最短时间路径导致的 （两种介质sina/sinb比率恒定，a是入射角，b是折射角）
明白了曲线的切线的本质
费马为现代意义的微积分铺平了道路
函数
一元函数y=f(x)，变量y（因变量）随变量x（自变量）变化的函数
幂函数
指数函数
10的次方，能把巨大数字所见到更易于理解的程度
对数
log(axb)=loga+logb
对数跟指数函数相互撤销作用，反函数
自然常数e
e=2.718...
以e为底的指数函数的增长速率恰好等于这个函数本身
72法则的基础
72÷回报率=翻倍时间
变化率和导数
变化率Δy/Δx
应用
速度
加速度
坡度
曲线斜率
导数dy/dx
将变化率定义为一个函数
与普通变化率不同的是假定dy和dx无穷小
微积分三大核心问题
正向问题：已知曲线，求各处斜率
斜率是变化量
反向问题：已知各处斜率，求曲线
面积问题：知曲线，求曲线下面积
面积是变化累积量
线性函数及其恒定的变化率
非线性函数及其不断变化的变化率
部分折角没有导数
电流在开关打开瞬间没有导数
正弦波及其变化率波
第一，两个波不同步
第二，相似而不同，变化率波对称性不如正弦波，波峰波谷更平坦
如一变量遵循完美正弦波模式，其变化率也是一个完美的正弦波，时间上提前了1/4个周期
插值法
推测离散样本相邻两点
在可用数据之间绘制光滑曲线
微积分calculus
A(x)曲线下面积→y(x)曲线→dy/dx曲线斜率
知左求右为正向问题，知右求左为反向问题
知曲线求面积为积分（反向问题）
莱布尼茨及牛顿发明微积分，莱布尼茨方式更简洁其符号被广泛使用
微分
除了对正确答案贡献最大的部分之外，其他部分影响过小，舍去无影响
莱布尼茨版本求反向问题
求图形面积化为：知级数，求和，或者知级数，找另一级数，后者连续数之差与前者各项一致
微积分的应用
对HIV使用鸡尾疗法
常微分方程
只有一个自变量x
偏微分方程
不止一个自变量
模拟设计：偏微分方程与787飞机的设计
正弦波的特殊性：其求导为滞后T/4的余弦波，容易求
微波炉
CT与脑成像
