第五章：相交线与平行线（2021.3.2）1

本章思维导图的内容是关于相交线与平行线的知识点整合，属于初中的基础数学，欢迎有需要的朋友们参考借鉴。

第五章 相交线与平行线

• 相交线
  • 1. 两直线相交
    • 一般情况
      • • 邻补角
          • 定义
            • 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角
            • ∠1与∠3、∠1与∠4，∠2与∠3、∠2与∠4
          • 性质
            • 邻补角互补
          • • 如果∠α与∠β互为邻补角，那么一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角
        • 对顶角
          • 定义
            • 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
            • ∠1与∠2、∠3与∠4
          • 性质
            • 对顶角相等
          • • 对顶角是成对出现的
            • 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
        • 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有2个，而对顶角只有1个
    • 相交成直角
      • • 垂直与垂线
          • 定义
            • 当两直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
            • 符号语言
              • AB⊥CD，垂足为O
          • • 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角
            • 两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直
          • 垂线的性质
            • 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
              • 存在性与唯一性
            • 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
        • 点到直线的距离
          • 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
          • • 如图：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长
          • • 点到直线的距离是一个正值，是一个数量，而不是图形，所以不能画距离，只能量距离
            • 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条
  • 2. 两条直线被第三条直线所截
    • 同位角、内错角、同旁内角
      • • 同位角
          • 图中∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角
          • ∠1与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7
        • 内错角
          • 图中∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在左侧，∠5在右侧），具有这种位置关系的一对角叫做内错角
          • ∠3与∠5，∠4与∠6
        • 同旁内角
          • 图中∠3与∠6，这两个角都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF同侧（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角
          • ∠3与∠6，∠4与∠5
• 平行线
  • 1. 平行线及其判定
    • 平行线、平行公理及推论
      • 定义
        • 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
      • 表示方法
        • a∥b或AB∥CD，读作a平行于b
      • 平行公理
        • 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
          • 存在性
          • 唯一性
      • 平行公理的推论
        • 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
        • • 如果b∥a，c∥a，那么b∥c
    • 平行线的判定
      • 判定方法1
        • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
        • • 同位角相等，两直线平行
      • 判定方法2
        • 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
        • • 内错角相等，两直线平行
      • 判定方法3
        • 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
        • • 同旁内角互补，两直线平行
      • • • 如果∠1=∠5，那么L1∥L2
            • 同理∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7也可证得
          • 如果∠3=∠5，那么L1∥L2
            • 同理∠4=∠6，也可证得
          • 如果∠3+∠6=180°，那么L1∥L2
            • 同理∠4+∠5=180°，也可证得
        • 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直平行
    • 平行线的画法
      • 一“落”
        • 把三角尺一边落在已知直线上
      • 二“靠”
        • 用直尺紧靠三角尺的另一边
      • 三“移”
        • 沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点
      • 四“画”
        • 沿三角尺过已知点的边画直线
  • 2. 平行线的性质
    • 平行线的性质
      • 性质1
        • 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
        • • 两直线平行，同位角相等
      • 性质2
        • 两条平行线被第三条直线所截，内落脚相等
        • • 两直线平行，内错角相等
      • 性质3
        • 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
        • • 两直线平行，同旁内角互补
      • • 若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点
        • 如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直
    • 命题、定理、证明
  • 3. 两条直线间的距离
    • • 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF垂直CD于点F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离
    • • 两条平行线间的距离处处相等
      • • 三种距离都是线段的长度
      • 垂线段是一个图形；距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同
• 命题
  • 1. 命题
    • 判断一件事情的语句叫做命题
      • 命题必须是一个完整的句子
      • 这个句子必须对一件事情做出肯定或者否定的判断
    • • 由题设和结论两部分组成
        • 题设：已知事项
        • 结论：由已知事项推出的事项
      • 数学中的命题常见形式
        • “如果......那么......”
          • "如果"后接的部分是题设
          • “那么”后接的部分是结论
          • 对于题设和结论不明显的命题，需先把命题改写成“如果......那么......”的形式再进行判断
        • "若......则......"
    • 分类
      • 真命题
        • 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
        • 正确的命题
      • 假命题
        • 题设成立时，不能保证结论一定成立。这样的命题叫作假命题
        • 错误的命题
        • • 要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例即可
  • 2. 定理与推论
    • 定理
      • 经过推理证明得到的真命题称为定理
      • • 定理都是真命题，而真命题不一定是定理
          • “如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”，它是一个真命题，但不是定理
    • 推论
      • 由定理直接推出的正确结论称为推论
        • 可以作为进一步推理的依据
    • 证明过程必须做到言必有据
    • • 三角形内角和定理及其推论
        • 定理
          • 三角形三个内角的和等于180°
        • 推论
          • 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
  • 3. 证明
    • 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明
  • 4. 互逆命题
    • 定义
      • 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。
        • 其中一个命题是另一个命题的逆命题
    • 确定一个命题的逆命题
      • 先正确分析命题的条件和结论，再交换它们的位置，成为新命题的结论和条件
    • 原命题与逆命题的真假关系
      • 原命题与逆命题的真假不存在依赖关系
• 平移
  • 1. 平移的定义
    • 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，这样的图形运动叫作图形的平移
    • • 平移不改变图形的形状，大小
  • 2. 平移的要素
    • 平移的方向
    • 平移的距离
    • • 确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离
  • 3. 平移的性质
    • 平移是沿直线移动
    • 平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同
      • 对应线段平行（或共线）且相等
      • 对应角相等
    • 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
      • 两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等
  • 4. 平移作图
    • 选择图形中的关键点
    • 按一定方向和距离分别平移这些点
    • 分别依次连接这些点即可得到平移后的图形