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理论力学
北京航空航天大学五系理论力学考研知识框架总结，包括刚体系与结构平衡、质点系的平衡、动力学绪论、质点系动力学等内容。
编辑于2022-02-04 15:51:26- 理论力学
- 北京航空航天大学
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理论力学
01－质点平衡
02－刚体平衡
03－刚体系与结构平衡
04－质点系的平衡
力的功
元功概念
常见力的功
重力
弹性力
万有引力
力矩做功
内力功
刚体内力做功和为0
弹性体内力做功和不一定为0
摩擦力做功
滑动摩擦
力
滚动摩擦
力矩
约束及其分类
单边约束、双边约束
定常约束、非定常约束
完整约束、非完整约束
完整约束：几何约束+可积分速度约束
广义坐标与自由度
广义坐标：能够确定质点系位置的独立坐标
自由度：广义坐标的个数
虚位移与虚功
虚位移
纯几何量、不同点的虚位移满足一定的关系、与无限小实位移的区别
一个刚体上不同两点虚位移满足的关系
刚体的瞬时旋转中心：虚位移垂线交点
虚位移求法
代数法：准确求解方向
建立坐标系
建立在固定不动的地方
确定广义坐标
用广义坐标表示该点的位置
坐标函数对广义坐标变分
作图法：表示即可，用于分析。
虚功
概念
不能积分
理想约束
约束力虚功之和为0
6种
虚位移原理
条件
双边、理想约束（所有）
静止质点系
任意一组虚位移
分析出一组协调的虚位移是难点（149－4.8）
所有主动力虚功之和为0
直角坐标系下的表现
广义坐标形势下表现为：广义力均为0
变形体：怎么理解？
注意事项：建立坐标系后，各个量（一般注意<br>力在计算时的正负号）的方向（正负）要弄清楚
静定结构如果用虚位移原理解，可先解除待求约束力处的约束，代之以约束力作为主动力求解。
势力场中质点系平衡的稳定性
势力场、势能概念
势力场特性
01－势力场中有势力的元功等于势能<br>函数全微分的负值
02－有势力在各固定坐标轴上的投影<br>等于势能函数对相应轴偏导数的负值
势力场中质点系平衡条件（充要）
在平衡位置，势能变分=0
平衡稳定性
平衡点
极值，势能一阶导=0
稳定点
极值，势能二阶导>0
05－动力学绪论
基础：牛顿三定律
1－力改变运动状态（惯性参考系）
2－动量对时间的导数=作用在物体上的力
3－作用力与反作用力共线、等大、反向
研究方法（坐标系）
矢量法
矢径
矢径端图
速度
大小、方向、矢量表示
加速度
矢量表示
直角坐标法
右手坐标系
研究矢量法在直角坐标系下面的投影：坐标投影、速度投影、加速度投影
自然坐标法
结合轨迹形状研究－－<font color="#c41230">条件是轨迹已经知道</font>
自然轴系建立
曲线概念
曲率（平均+某一点）、曲率半径
自然轴系概念
密切面（曲线不一定在密切面里面）+法面（垂直切线）－－两者垂直
切线et （位于密切面+垂直法面）<br>法线en（密切面与法面交线）<br>副法线 eb 构成右手系
速度与加速度
速度：只有切向
加速度
切向加速度at--(速度大小变化引起)<br>法向加速度an--(速度方向改变引起)－－在实际求时，用坐标公式求导，避免找错瞬时旋转中心出错！<br>
质点运动微分方程（加速度和力的关系）
矢量形式
实际求解需要投影
直角坐标形式
三个轴的分量方程
自然坐标形式
条件：轨迹已知
切向+法向（副法线方向可以不考虑）
看几遍例题5－5
点的复合运动
参考系：定系与动系
相对运动：相对动系(下标 r 表示相对)
牵连运动：动系相对定系(下标e表示牵连)
牵连速度ve与加速度ae：瞬时重合点相对定系的速度与加速度
瞬时重合点的概念及寻找
物体与动系的一种关系点，一般来讲，瞬时重合点相对动系具有某种定量，比如到动系中一直线距离不变（相对平移）或者到动系中某一点距离不变（相对旋转）
绝对运动：相对定系(下标 a 表示绝对)
速度合成定理
va=ve+vr<br> ——求解投影时两边均要投影，考虑方向。
注意：上述关系为总分关系，不是平衡关系，大小和方向都相等。
加速度合成定理
牵连运动为——平移
aa=ae+ar<br>——求解投影时两边均要投影，考虑方向。
注意：上述关系为总分关系，不是平衡关系，大小和方向都相等。
投影要带方向（+－）
牵连运动为——定轴转动
aa=ae+ar+2w×vr=ae+ar+ac<br>w:动系定轴旋转角速度<br>ac:称为科氏加速度<br>
注意：上述关系为总分关系，不是平衡关系，大小和方向都相等。
解题步骤：<br>00－选择合适的动系与定系<br>01－分析清楚三种运动<br>02－分析清楚三种速度<br>03－分析清楚三种加速度（若有圆周运动，加速度分为切向和法向）<br>04－写出矢量式子<br>05－在对应的轴上面进行投影，求解分量。<br>
质点相对运动－动力学方程
m*ar=F+(-m*ae)+(-m*ac)=F+Fe+Fc<br>Fe:牵连惯性力<br>Fc:科里奥利力<br>
1·动系做平移<br>此时：ac=0,Fc=0<br>此时：m*ar=F+Fe<br>
2·动系做匀速平移<br>此时：ac=0,Fc=0;ae=0,Fe=0<br>此时：m*ar=F<br>
3·质点相对动系静止<br>此时：ar=0,vr=0,ac=0,Fc=0<br>此时：0=F+Fe<br>称为：相对静止<br>
4·质点相对动参考系匀速直线运动<br>此时：ar=0<br>此时：0=F+Fe+Fc<br>称为：相对平衡<br>
x的二阶导、x的一阶导、x之间的关系要掌握，经常用到。
06－质点系动力学
动量定理（在方向上引入外力进入方程）
动量定理
dp/dt=FR(e) <br>质点系动量 = 各质点动量之和<br>
质点系动量对时间的导数等于作用在 质点系上外力的矢量和
动量守恒
全守恒：FR（e）=0
单方向守恒：这一方向上的合力=0
质心运动定理：m * ac = FR(e)
质心运动的守恒情况
全守恒
单方向
变质量质点运动微分方程
m * dv/dt =FR(e) + dm/dt * Vr
搞清楚主体m和Vr的对象，<br>FR(e)是作用在主体m上的外力？【不是，是总体m上的】<br>
解题步骤：<br>1－画出受力图【系统外力】<br>2－列微分方程矢量式子<br>3－投影微分方程<br>4－按要求处理（包括积分、求导等等，积分有技巧，求导要注意导数和已知量的关系）<br>
动量矩定理（在对某一点或者某<br>一轴的关系上引入外力进入方程）<br>
质点系动量矩
总的动量矩=各质点动量矩之和<br>Lo= r × p＝Lx＋Ly＋Lz<br>
平移刚体 : rc ×mv
定轴转动刚体 ： Jz w<br>z表示转轴<br>
质点系动量矩定理
dLo/dt=∑Mo(Fie)
注意：o为惯性参考系下面的固定点
质点系对固定点o的动量矩对时间的导数<br>=作用于质点系上的外力对 o 点力矩的矢量和
动量矩守恒
全守恒
单轴向守恒
质点系相对于动点的动量矩定理
说明：动系选的平移坐标系（因为讨论点的时候没有旋转概念，所以选取最简单的固连平移坐标系）<br>A:动系原点<br>rA:定系原点到动系原点的矢径<br>P:质点系动量<br>LAr:质点系相对动点的动量矩<br>rAC:动点到质点系质心的矢径<br>
Lo=rA × p＋ rAC × m vA ＋LAr
A＝C时<br>Lo=rC×p+LCr<br>
质点系对任意固定点o的动量矩等于质点系的动量（p；位于质心）<br>对o点之矩加上质点系相对质心的动量矩的矢量和
相对动点的动量矩定理
dLAr/dt = ∑MA（Fie）＋rAC × Fe
质点系相对动点A的动量矩对时间的导数等于作<br>用于质点系上的外力对动点A的主矩加上作用于<br>质心的惯性力（Fe=－m aA）对A点之矩的矢量和
1－aA=0时，此时平移系为惯性参考系，右端第二项为0<br>
2－rAC//aA时，右端第二项为0
3－rAC=0时（A=C），右端第二项为0
解题步骤：<br>1－画出受力图【系统外力】<br>2－列微分方程矢量式子<br>3－投影微分方程<br>4－按要求处理（包括积分、求导等等，积分有技巧，求导要注意导数和已知量的关系）<br>
动能定理（一般用于求速度，<br>进而用速度的导数求加速度）
质点系的动能
柯尼希定理：<br>质点系的动能定理 = 质点系质量集中在质点处的动能 + 质点系相对于随质心平移的参考系的动能<br>
平移刚体的动能：<br>T = 1/2 m v^2<br>
定轴转动刚体的动能：<br>T = 1/2 J w^2<br>
质点系的动能定理
T2－T1 = ∑δW12(e)＋∑δW12(i)
注意:有内力做功，在动量定理和动量矩定理中内力对系统是不产生影响的<br>（因为功是一种标量，不同方向【作用力与反作用力的功】的功不能抵消，<br>在动量定理【内力】和和动量矩定理中【内力矩】是矢量，不同方向在加<br>和中互相抵消）<br>
机械能守恒定理
有势力做功，机械能守恒。<br>【有势力】仅与空间位置有关的力<br>
机械能：V+T
07－刚体动力学
刚体平面运动的运动学
刚体平面运动的运动方程
基点的概念
平面图形绕基点的角速度与基点的选取无关
平面图形上各点的速度
速度合成法【基点法】
基点法研究的是【同一物体】上不同点的速度和加速度关系<br>动系法研究的是【两个物体】之间的运动关系！<br>
速度投影法【依据是刚体两点之间距离不变】
速度瞬心法
w不为零是必有瞬心
速度瞬心是唯一的
速度瞬心的找法【4种情况】
瞬时平移的概念
平面图形上各点的加速度
以基点为原点做【平移】参考系
与动系法的区别，动系法可能带入旋转参考系，进而引入ac.
加速度瞬心
平面图形的加速度和角加速度不同时为零时必存在
加速度瞬心的找法【注意！】
好像不是唯一的！
刚体定轴转动与<br>平面运动微分方程
刚体定轴转动微分方程
动力学方程
微分方程
平行轴定理Jz'＝Jzc＋md²<br>
刚体平面运动微分方程
2个质心运动方程【x+y】<br>1个相对质心的动量矩方程【z】<br>
注意一些条件限制p256
碰撞问题
特点和分类
简化：<br>1－常规力不记<br>2－物体位移忽略不计<br>
恢复因数 <br> e = I2－I1 = －（u1n－u2n）/（v1n－v2n）<br>
斜碰撞、正碰撞<br>对心碰、偏心碰<br>弹性碰、塑性碰<br>
碰撞基本定理
冲量定理【积分形式的动量定理】
冲量矩定理【积分形式的的动量矩定理】
对固定点！！注意理解。7-33题
08－动静法
达朗贝尔原理【动静法】
惯性力：FI=－ma，负号表示方向与a相反
达朗贝尔原理
质点<br>F+FN+FI=0<br>注意：FI不是作用于对象上面的，上式只是满足的矢量关系。<br>
质点系<br>力: ∑(F)＋∑(FN)＋∑(FI)＝0<br>力矩:∑Mo(F)+∑Mo(FN)+∑Mo(FI)＝0<br>
将主动力与约束力按照内外力分得到：<br>力:∑(Fe)＋∑(FI)＝0<br>力矩：∑Mo(Fe)+∑Mo(FI)＝0<br>
动静法
在质点运动中，除了实际受到的力外，加上假想的惯性力，<br>那么动力学问题就可以像静力学问题那样列平衡方程来解决。
刚体惯性力系的简化
简化后的力和力矩要放在简化中心！！非常重要！！
平移刚体惯性力系简化
【质心简化】<br>FIc = －mac<br>MIc = 0<br>
平面运动刚体惯性力系简化
条件：有质量对称面，运动可以看作是此平面内的运动。
【质心简化】<br>FIc = －mac<br>MIc = －Jc α <br>注意：转轴为过质心且垂直于质量对称平面的<br>
定轴转动刚体惯性力系简化
条件：有质量对称面，转轴o在此面内，垂直于此面。
【转轴o简化】<br>FIc = －mac<br>MIo = －Jo α<br>
定轴转动刚体轴承支反力<br>【静平衡与动平衡】<br>
惯性力系的简化
了解[p292]
惯性积与惯量主轴
惯性积
惯量主轴
刚体上任意一点都至少对应有三根相互垂直的惯量主轴
判断：<br>1－刚体上的质量对称轴是该轴任一点的惯量主轴也是中心惯量主轴<br>2－刚体有质量对称面，则垂直于该对称面的任一轴，必为轴与对称面交点的一个惯量主轴<br>
中心惯量主轴
过质心的惯量主轴
[定轴转动]刚体轴承的附加动反力
刚体做定轴转动时，<br>附加动反力为 0 的【充分必要条件】是：<br>转轴为刚体的中心惯量主轴<br>
静平衡：<br>转轴过质心，没有主动力作用下，任意位置可以静止不动<br>
动平衡：<br>不会引起附加动反力的转动，绕中心惯量主轴转动！（充要）<br>
09－拉格朗日方程
动力学普遍方程
动平衡是最一般的平衡，静平衡包含在动平衡中。
结合虚位移原理和达朗贝尔原理【动静法】<br>目的：建立不包含约束力的动力学方程<br>条件：双边理想约束【使用限制】<br>
∑Fi·δri＋∑FNi·δri＋∑FIi·δri＝0<br>双边理想约束下：∑FNi·δri=0<br>于是有：∑Fi·δri＋∑FIi·δri＝0<br>
使用注意：<br>01：一定要把各个加速度和惯性力分析清楚<br>02：虚位移是任意的、相合的一组<br>
第二类拉格朗日方程
主动力有势情况下的第二类拉格朗日方程
拉格朗日函数<br>L=T－V<br>
非有势力的广义力的求法
拉格朗日方程的首次积分
概念及意义
代表了系统的某些守恒量，对一般系统，<br>这个守恒量比较难寻找，但对于保守系<br>统则比较容易。
我们讨论的对象限定：<br>理想约束、主动力有势【拉格朗日方程右端=0】，<br>动力学方程由拉格朗日函数决定。<br>
循环积分
条件：L显含所有广义速度、不显含某些广义坐标；<br>不显含的广义坐标称为循环坐标。
其存在与否与广义坐标的选取有关
表现：动能关于循环坐标的的【速度的】偏导为常数，不同的循环坐标对应不同的常数。
意义：对应于循环坐标的动量守恒。
能量积分
条件：L不显含时间t、保守系统【主动力为势力场】<br>
表现：T2－T0+V=常量<br>
意义：表示了质点系的部分能量之间的关系，称为广义能量积分。<br>同机械能守恒有区别，常出现于【非惯性系】运动的质点系中。<br>
第一类拉格朗日方程
了解即可
10－刚体动力学2
刚体定点运动的运动学
刚体定点运动的运动方程
坐标系
固定坐标系
随体坐标系
欧拉角（进动角、章动角、自旋角）
运动方程的表达形式
刚体定点运动的有限位移与无限小位移
有限位移
三个变换矩阵（进动>>章动>>自旋）
运动顺序不可交换
刚体定点运动位移定理
定点运动刚体的任何有限位移，可以绕过定点的某一轴经过一次旋转而实现
无限小位移
总得微小角位移 = 三个方向微小角位移的矢量和
刚体定点运动的欧拉动力学方程方程
陀螺的规则进动及其金丝理论
刚体一般运动的运动学与动力学