级数

这是一篇关于级数的思维导图，包括常数顶级数、正顶级数、交错级数、幂函数、傅里叶级数等内容，十分详细。

无穷级数

• • 1. 数项级数的判敛
    • 1.1. 判敛法
      • 1.1.1. 正项级数
        • 1.1.1.1. Sn有界等价于级数收敛
        • 1.1.1.2. 比较判别法
          • 1.1.1.2.1. 一般比较
            • 1.1.1.2.1.1. 大敛则小敛
            • 1.1.1.2.1.2. 小散则大散
          • 1.1.1.2.2. 比值比较（U/V = 0/0）
            • 1.1.1.2.2.1. 0
              • 1.1.1.2.2.1.1. U是V高阶无穷小
            • 1.1.1.2.2.2. ∞
              • 1.1.1.2.2.2.1. V是U高阶无穷小
            • 1.1.1.2.2.3. A≠0
              • 1.1.1.2.2.3.1. UV同敛散
            • 四个重要尺度
              • 1. 等比级数
                • 1.1. 比例 |q| 小于1时收敛
              • 2. P级数
                • 2.1. 形式
                • 2.2. 敛散
                  • 2.2.1. P＞1时收敛
                  • 2.2.2. P≤1时发散
                • 非常重要的一个级数，多用于否定！
              • 3. 广义P级数
                • 3.1. 形式
                • 3.2. 敛散
                  • 3.2.1. P＞1时收敛
                  • 3.2.2. P≤1时发散
              • 4. 交错P级数
                • 4.1. 形式
                • 4.2. 敛散
                  • 4.2.1. P＞1；绝对收敛
                  • 4.2.2. 0＜P≤1；条件收敛
        • 1.1.1.3. 比值判别法（达朗贝尔）【无穷时，后项比前项=A】
          • 1.1.1.3.1. A＜1；收敛
          • 1.1.1.3.2. A＞1；发散
          • 1.1.1.3.3. A=1；失效
        • 1.1.1.4. 根值判别法（柯西法则）【无穷时，元素开n次方=A】
          • 1.1.1.4.1. A＜1；收敛
          • 1.1.1.4.2. A＞1；发散
          • 1.1.1.4.3. A=1；失效
      • 1.1.2. 交错级数
        • 1.1.2.1. 形式
          • 1.1.2.1.1. un大于0，其系数交错
        • 1.1.2.2. 判别法（莱布尼兹法）
          • 1.1.2.2.1. un递减
          • 1.1.2.2.2. un趋于0
          • 收敛
      • 1.1.3. 任意级数
        • 1.1.3.1. 绝对收敛
        • 1.1.3.2. 条件收敛
    • 1.2. 16条常用结论
      • 1.2.1. 常用技巧
        • 1.2.1.1. 级数拆分
        • 1.2.1.2. 有复杂次方时，用对数函数代换
        • 1.2.1.3. 对有递推公式的复杂证明多用归纳法
        • 1.2.1.4. 阶乘与n次幂共存时，优先使用比值判别，因为阶乘开根号不好求。
    • 1.3. 思维
      • 1.3.1. 收敛+收敛=收敛
      • 1.3.2. 收敛+发散=发散
      • 1.3.3. 发散±发散=不定
  • 2. 幂级数的收敛域
    • 2.1. 概念
      • 2.1.1. 收敛点的集合
    • 2.2. 具体型问题
      • 2.2.1. 完整级数比系数
        • 2.2.1.1. 收敛半径
          • 2.2.1.1.1. 比值法（本质是达朗贝尔判别）
        • 2.2.1.2. 收敛区间
          • 2.2.1.2.1. 收敛半径开区间
        • 2.2.1.3. －收敛域
          • 2.2.1.3.1. 对收敛区间端点值进行判断
      • 2.2.2. 缺项级数比元素
        • 2.2.2.1. 收敛域
    • 2.3. 抽象型问题
      • 2.3.1. 阿贝尔原理
        • 2.3.1.1. 收敛点（作为）半径内，绝对收敛
          • 2.3.1.1.1. 子级数收敛
      • 2.3.2. 若某一点收敛，判断R的范围
        • 注意条件收敛时得到的就是收敛半径
      • 2.3.3. 由一个级数的收敛性讨论另一个级数敛散性
        • 2.3.3.1. 平移或者提因式：收敛半径不变
        • 2.3.3.2. 求导：收敛半径不变，收敛域可能缩小（端点不可导）
        • 2.3.3.3. 积分：收敛半径不变，收敛域可能扩大（端点变成收敛点）
  • 3. 展开问题
    • 3.1. 考法
      • 3.1.1. 函数展开：常见公式！
      • 3.1.2. 积分展开：先展后积
      • 3.1.3. 导数展开：先展后导
      • 3.1.4. 无穷小比阶
    • 3.2. 工具
      • 3.2.1. 先积后导
      • 3.2.2. 先导后积（函数复杂，不能直接展开）
      • 3.2.3. 展开公式
    • 注意下限
      • 全部改成 0 为下限
  • 4. 求和问题
    • 4.1. 套展开公式【记】
    • 4.2. 和函数计算
      • 4.2.1. 分子有n,先积后导
      • 4.2.2. 分母有n，先导后积
      • 4.2.3. 分子分母都有n，先拆项
      • 4.2.4. 分母是n的多项式乘积，先拆项
      • 4.2.5. 分母有阶乘，往指数函数靠
      • 4.2.6. 分母为 n 的一次，往 1/（1+X）或者1/（1－X） 靠
    • 4.3. 微分方程结合
  • 5. 傅立叶级数
    • 5.1.