平面向量（二）

这是一篇关于平面向量（二）的思维导图，主要内容有概念、运算、基本定理及坐标表示。

平面向量（二）

• 概念
  • 两个角度：模、方向
  • 两个特殊的向量
    • 零向量：长度为0、任意方向（与任意向量平行）
    • 单位向量：长度为1
  • 两个特殊关系
    • 平行向量/共线向量：方向相同或相反
    • 相等向量：长度一样、方向一样
• 运算
  • 加法
    • 三角形法则/平行四边形法则：画图时头头相连
    • |a±b|≤|a|+|b|
  • 减法
    • a-b=a+（-b）
  • 数乘（结果是向量）
    • 方向上：当λ=0时，λa=0；（-1）a=-a.（符号表示方向） 长度上:|λa|=|λ|·|a|
    • 向量a（≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使a＝λb.
  • 数量积（结果是数字）
    • a·b=|a|·|b|cosθ
    • 投影：a在b上的投影是a·cosθ
    • θ=<a，b>且0≤θ≤π
      • θ=0即a，b方向相同：a·b>0且a·b=|a|·|b|
      • 0<θ<π/2即锐角：a·b>0
      • θ=π/2即a⊥b：a·b=0
        • 如果a·b=0，有a=0或b=0或θ=0
      • π/2<θ<π即钝角：a·b<0
      • θ=π即a，b方向相反：a·b<0且a·b=-|a|·|b|
      • |a·b|≤|a|·|b|
  • 区分
    • 数乘结果是向量：0·a=0
    • 数量积结果是数字：0·a=0
• 基本定理及坐标表示
  • 平面向量基本定理
    • 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
  • 坐标表示
    • 由a=xi+yj得a=（x，y）.
    • 设a=（x1，y1），b=（x2，y2）,其中b≠0.a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
    • 数乘的坐标表示
      • |a|²=x²+y²
      • A（x1，y1）,B（x2，y2）,向量AB=（x2-x1，y2-y1）