导图社区 高中数学 三角函数 任意角的三角函数及诱导公式
高中数学-任意角的三角函数及诱导公式知识总结，包括三角函数的定义、三角函数值在各象限的符号、三角函数的定义域等内容。
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高中数学 任意角的三角函数及诱导公式
知识梳理
三角函数的定义
三角函数值在各象限的符号
子主题
三角函数线
角a的三角函数值可以用单位圆的有向线段表示： sina=MP， cosa=OM，tana=AT。 有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线
诱导公式
2kn±α(kEZ)、-0、±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
π/2±α、3π/2±α的三角函数值等于α的余角函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号
同角三角函数的基本关系
学法指导
同角关系
1.三角函数值间的“知一求二”，求式子的值
2.化简三角函数式
3.证明三角恒等式
变形技巧
负角化正角、大角化小角、化异为同；常用诱导公式 切割化弦，弦切互化
“1”的代换=sin² α+tcos²α=sec²α-tan²α=csc²α-cot²α=tanπ/4
消元和降次
sinα± cosα、sinαcosα三个式子中，已知其中一个式子， 可求其他两个式子。它隐含一个条件：弦的平方和为1
三种基本题型
求值题型
题型
已知一个角的一种三角函数值 ，求这个角的其他三角函数值
角的象限或终边已知，只有一解
角的象限或终边需要判断，有一解或两解
角的三角函数值含有字母或用另一个角的三角函数来表示这个三角函数
解法
合理选择公式，一般思路是按“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解
在开平方时，应注意“±”的取舍，有时需要分类讨论
化简题型
目的是简化运算，要求项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不带根号，尽量化为数值
证明题型
三角恒等式
诱导公式记忆规律
α为任意角，为记忆方便，把α看做锐角，则-α是第四象限角，π+α是第三象限角，元π-a是第二象限角
关系角
对角线上两函数之积为1；任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积；阴影三角形，顶角的两个函数的平方和等于底角函数的平方
“奇变偶不变”符号看象限
奇偶是指整数为奇数或偶数
变指正、余弦互变，正、余切互变
符号是把a看做锐角时，原函数的符号
1.三角函数线中字母顺序不可颠倒
2.与坐标轴方向一致的有向线段为正，此时相应的三角函数值为正；与坐标轴方向相反的有向线段为负，此时相应的三角函数值为负
3.角α的终边在x轴上时，正切线、正弦线变为一个点；角a的终边在)/轴上时，余弦线变为一个点，正切线不存在
4.若O<α<π/2，则sinα<tanα， sinα+cosα>1
5.应用
判断三角式的符号
判断角所在的象限
估算求值
三角函数中的不等式证明
三角函数值大小的比较
根据三角函数的定义， 求特殊角的三角函数值
角终边上任意一个不同于原点的点P的横坐标x，纵坐标y，点P到原点的距离r，可间接地转化为线段，通过线段的比得出特殊角的三角函数值
总结升华
智能提升
证明三角恒等式
实质
消除等式两边的差异， 实质 证明三角恒等式有目的地化简
常用方法
1.从一边开始，证得它的另一边，一般由繁到简
2.左右归一法
即证明左右两边都等于同一个式子
3.凑合方法
常用方法针对题设与结论间的差异，有针对性地变形 以消除其差异，简言之，即化异为同的方法
4.比较法
即证明“左边-右边=0”或“左边÷右边=1”
5.分析法
从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的充分条件， 一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
学习误区
忽视三角函数定义致误
求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义外，三角函数本身的定义域也不可忽视，如tan x、 secx、cscx中的x取值需特别注意
给值求出现漏角致误
给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应
