时间序列模型

计量经济学（李子奈第4版）时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。 完成度约80%

时间序列模型

• 序列相关性
  • 讨论原因
    • 经典模型假设之一：随机干扰项相互独立，当不满足该假设时，即存在自相关
  • 具体定义
    • Cov(μ_i,μ_j)≠0
  • 产生原因
    • 经济变量固有惯性：时间序列数据不同时间节点有关联
    • 模型设定偏误：导致随机干扰项中包含了重要的系统性影响因素
    • 数据“编造”：由已知数据生成的新数据会和原数据产生内在联系
  • 导致后果
    • 参数估计量不再有效（具有无偏性和一致性）
    • 变量显著性检验失效（变量方差出现偏误）
    • 模型预测失效
  • 有关检验
    • 用残差e来近似估计随机误差项μ
    • 图示法：残差&时间相关图、残差&滞后期相关图
    • 回归检验法：残差与各个滞后期以及不同函数形式的残差函数式进行回归并进行显著性检验
    • D.W.检验法：原假设为不存在一阶自相关，构建统计量并判断是否存在一阶自相关
      • 只适用于一阶自相关
    • LM检验（拉格朗日乘数）：原假设为怀疑存在的p阶序列相关项的系数均为0，构建LM统计量nR^2~χ^2(p)； 当统计量数值超过该临界值，则拒绝原假设，表明可能存在p阶序列相关性
      • 适用于高阶序列相关&模型中存在滞后被解释变量的情况
  • 补救方法
    • 广义最小二乘法：已知随机误差项的方差—协方差矩阵的基础上可采用
    • 广义差分法：原模型与ρ×滞后期模型作差，构造不具有自相关的随机误差项
      • 导致样本观测值损失
    • 相关系数估计
      • Cochrane-Orcutt迭代法
• 序列平稳性
  • 讨论原因
    • 随机扰动项满足大数定律和中心极限法则和推导的基本假设，而一般时间序列无法满足随机抽样假定，平稳时间序列可以代替随机抽样假定
    • 序列相关稳健标准误法：在采用OLS的基础上仅就估计量方差进行修正；尽管无法得到有效估计量，但可使以估计量方差为基础的统计检验不再失效且预测区间更加可信
      • 无法采用GLS时的主要手段
    • 平稳时间序列可有效减少伪回归（非平稳时间序列具有共同的变化趋势，统计上有较强的“因果关系”）
  • 定义条件
    • 一组时间序列
    • 该序列均值为μ（与时间t无关）
    • 该序列方差为σ^2（与时间t无关）
    • 该序列协方差Cov为γ（与时间间隔k相关，与时间t无关）
    • 平稳随机过程
      • 又称“宽平稳”
      • 白噪声：该序列零均值同方差的独立分布序列
      • 一阶自回归AR(1)：
        • 特例：随机游走：
          • 差分形式：
  • 有关检验
    • 图示检验
      • 序列&时间关系图
      • ACF&滞后期k关系图
        • 自相关函数ACF
        • 白噪声序列的样本ACF近似服从均值为0，方差为1/n的正态分布（n为样本数）
    • 单位根检验
      • DF检验（适用于白噪声随机干扰项的一阶自回归）
        • t统计量的左侧单尾检验，当t统计量小于临界值时（即δ足够小时），拒绝原假设，接受备择假设，该时间序列平稳
      • ADF检验（适用于白噪声干扰项高阶自回归）
        • 依次检验模型3、2、1，直到检验拒绝原假设，即确定序列平稳；若均不拒绝，则证明原序列不平稳
          • 模型涉及滞后阶数可用LM检验确定
• 单整
  • 一组时间序列
  • 一个时间序列经过一次差分变成平稳的，则原序列为一阶单整，I(1)
  • 一个时间序列经过d次差分变成平稳的，则原序列为d阶单整I(d)
  • I(0)表示平稳时间序列
  • d阶单整与d次差分的关系
• 协整
  • 多组时间序列
  • 长期均衡关系
    • 经济系统不存在破坏均衡的内在机制，当受到干扰后偏离长期均衡点，则下一期进行调整使其恢复到均衡状态
    • 要求：随机干扰项必须是平稳序列，否则偏离量将会被长期积累下来而不能被消除
    • 变量与非均衡误差的线性组合：
  • 协整定义
    • 一般的，如果若干序列都是d阶单整的，存在向量α，使得线性组合为(d-b)阶单整，则认为原若干序列是(d,b)阶协整，α为协整向量
      • 两变量是同阶单整变量时才可能协整
    • 经济意义：两变量虽然各自具有长期波动规律，但若他们是(d,d)阶协整的，那么他们之间存在着一个长期稳定的比例关系
      • 通过协整降低阶数并构建白噪声模型
  • 协整检验
    • 两变量E-G检验
      • 适用于2个或多个I(1)变量
      • 协整回归：采用OLS并计算非均衡误差μ
      • 检验非均衡误差的单整性（一般采用ADF检验）
      • 若拒绝原假设，则证明残差项是平稳序列，进而说明原若干序列是（1,1）协整的
        • 由于采用残差项进行单整检验，故得到的估计量一般向下偏倚，需要公式计算
    • 多变量协整检验
      • 暂定一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量进行OLS并检验残差项是否平稳
      • 若不平稳则更换被解释变量，当所有都被作为解释变量后仍不能得到平稳的残差项序列，则变量之间不存在协整
    • 高阶单整变量EG检验
    • 协整与均衡
      • 协整方程具有统计意义，均衡方程具有经济意义；即协整是均衡的必要不充分条件
      • 协整方程包含的时间序列小于均衡方程包含的时间序列
      • 协整方程只要求随机项是平稳的，均衡方程要求随机项是白噪声的
• 误差修正模型
  • 产生原因：非平稳时间序列差分后尽管可以得到平稳序列，但会引发2个问题
    • 两序列长期稳定的条件下，差分后的误差项自相关
    • 差分形式导致变量水平值的重要信息被忽略
  • 相关定义：对具有分布滞后项的模型方程式进行拆分，构建含有差分形式和误差修正项的模型方程结构
    • 例：一阶误差修正模型
  • 格兰杰表述定理：如果变量X，Y是协整的，则他们之间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述
    • 多变量推广： 1.进行OLS并检验变量间的协整关系，估计协整向量 2.若存在协整关系，则以第一步的残差作为非均衡误差加入到误差修正模型中，并用OLS估计相应参数
      • 1.考虑协整回归是否需要加入趋势项 2.第二步时，判断残差序列自相关性，视情况加入变量差分滞后项
• 相关模型
  • 自回归模型AR
  • 平均移动过程MA
  • 自回归平均移动过程ARMA
  • 向量自回归模型VAR
• 格兰杰因果关系检验
  • 探讨原因：当两个变量间在时间上有先导-滞后关系时，能否 从统计关系上考察两者影响关系是双向的还是单向的
  • 原理：通过考察只含有Y的过去信息对Y的预测效果和包括Y的过去信息和X在内的预测效果来判断X是否对预测有帮助
  • 定义表述
    • 回归模型
    • 检验结果： 单向影响——一方变量滞后项系数整体为0但另一方变量滞后项系数整体不为0 双向影响——两个方程的变量滞后项系数整体均不为0 独立——两个方程的变量滞后项系数整体为0
    • F检验（格兰杰非因果关系检验）：原假设为参数整体为0，包含与不包含X滞后项回归的残差平方和分别为RSS(U)、RSS(R)，统计量如下，当F值大于给定显著性水平下的临界值，则拒绝原假设，则认为X是Y的格兰杰原因
  • 延伸问题
    • 1.滞后期长度的选择：依据随机干扰项不存在序列相关的滞后期长度来选取 2.时间序列平稳性：同阶单整非平稳序列的格兰杰检验具有一定的可靠性 3.样本容量问题：样本容量越大，因果关系显著性越大 4.格兰杰检验是必要性检验，不是充分条件检验