函数

函数思维导图包含：二次函数、平面直角坐标系（平面直角坐标系是用来确定平面上的点的位置、什么是平面直角坐标系）、一次函数、反比例函数等等

函数

• 平面直角坐标系
  • 1.平面直角坐标系是用来确定平面上的点的位置
  • 2.什么是平面直角坐标系
    • 在同一个平面
    • 互相垂直
    • 有且只有一个公共原点
    • 两条数轴
  • 3.坐标平面分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
  • 4.用坐标系确定平面点的位置
    • 有序数对，
      • 即有顺序的两个数
  • 5.坐标系上的两点距离
    • 设两点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）
    • 则P1P2的距离d=
      • 推导
  • 6.坐标系6个区域特点
    • 第一象限，正正
    • 第二象限，负正
    • 第三象限，负负
    • 第四象限，正负
    • x轴，无限制、0
    • y轴，0、无限制
• 一次函数
  • 1.函数值
    • 1.变量：数值会发生改变的量
    • 2.常量：数值不会发生改变
    • 3.自变量：自身会改变的量
    • 4.因变量：因为其他变量改变，自身发生改变
    • 5.我们就称因变量y是自变量x的函数，而且对于一个给定的自变量x值
      • 如x=a，因变量只能有唯一的值与其对应，设此时因变量y=b那么我们称b时自变量为a时的函数
  • 2.函数三要素
    • 定义域：函数自变量取值范围
    • 对应关系：因变量与自变量如何对应
    • 值域：函数的因变量取值范围
  • 3.表示函数的三大方法
    • 列表法
    • 解析法
    • 图像法
      • 函数的图像
        • 一般的对于一个函数，把它的自变量与函数的每对对应值分别作为点的横，纵坐标，纳闷坐标平面内由这些点组成的图形称为这个函数的图像
  • 4.正比例函数
    • 正比例函数：形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数
      • 其图像是一条经过原点的直线，而且必经过点（0，0）和（1，k）
    • 当k＞0和k＜0时其图像特点
      • k＞0时，x变大，y变大
      • k＜0时，x变大，y变小
      • k的正负决定直线的倾斜方向
      • k的大小决定直线的倾斜程度
  • 5.一次函数
    • 形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数
    • 当b=0时，其为正比例函数，所以正比例函数是特殊的一次函数
    • 一次函数图像直线，其中k与正比例函数中的k的作用相同，b表示直线与y轴交点的纵坐标值。也就是截距
    • 特点
      • b＞0
        • k＞0
          • 经过一、二、三象限
        • k＜0
          • 经过一、二、四
      • b＜0
        • k＞0
          • 经过一、三、四象限
        • k＜0
          • 经过二、三、四象限
  • 注意x取值范围
    • 1.分母不能等于0
    • 2.算数平方根的被开方数是非负数
    • 3.零指数和负指数幂的底数不能为0.
  • 6.要确定一次函数的图像，只要找出两个点就行了通常是（0，k）和（-b/k，0）
• 反比例函数
  • 1.反比例函数的概念
    • 一般，如果两个变量x，y有形如y=k/x（k为常数，k≠0）的等式关系，那么称y是x的反比例函数，其中x为自变量，y是x的函数，另外y=k/x也可以写成
    • 反比例函数的图像为双曲线
  • 2.反比例函数的图像和性质
    • k＞0
      • x≠0；函数图像的两支分别在第一，三象限，在每一个分支上，y随x的增大而减小
    • k＜0
      • x≠0；函数图像分别在二，四象限，在每一个分支上，y随x的增大而曾大
  • 3.反比例函数的图像是双曲线，它的关于原点对称的中心对称图像，其对称轴为第一，三象限和二，四象限坐标轴夹角平分线即直线y=x和直线y=-x
• 二次函数
  • 1.二次函数的概念
    • 一般，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数
    • 二次函数的图像为一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线的开口向下
    • 抛物线的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为
  • 2.抛物线的常见表达形式
    • 交点式
      • y=a（x-x1）（x-x2）
        • x=h
    • 一般式
      • y=ax²+bx+c
    • 顶点式
      • y=a（x-h）²+k
  • 二次函数定义中a≠0，要特别注意
  • 3.二次函数的系数与函数图像的关系
    • a决定开口方向及开口大小，a＞0，开口向下；a＜0，开口向下；a的绝对值越大开口越大
    • b和a共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线
      • b=0时，则对称轴为y轴
      • b/a＞0（即a、b同号）时，对称轴在y左侧
      • b/a＜0（即a、b异号）时，对称轴在y右侧
    • c的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置，当x=0，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）
      • c=0，抛物线经过原点
      • c＞0，与y轴交于正半轴
      • c＜0，与y轴交于负半轴
    • 以上三点中当结论和条件互换时仍成立，如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
  • 4.用待定系数解函数的解析式，通常的解法
    • 一般式：y=ax²+bx+c。已知图像上三点或三堆x、y的值、通常选择一般式
    • 顶点式：y=a（x-h）²+k。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点
    • 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选择用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）
  • 5.求二次函数的最值方法
    • 一.用配方法化成顶点式，顶点的纵坐标就是最值
    • 二.用顶点公式
  • 6.对每个二次函数y=ax²+bx+c令y=0都对应着一个一元一次方程，一元二次方程的解=二次函数中令y=0时对应的x值
  • 7.关于动点的问题，最重要的是要找出临界时的情形，通常都会与函数结合