线性代数——矩阵

线性代数——矩阵思维导图：矩阵的加法和数量乘法、矩阵之间的乘法、矩阵运算与行列式的关系、矩阵的转置、初等矩阵等等

矩阵

• 矩阵的加法和数量乘法
• 矩阵之间的乘法
  • 行乘列法则
  • 不满足交换律与消去律
    • 当AB=BA时，AB是可交换的
  • 一些公式
  • 矩阵乘法有意义的条件：左乘矩阵的列数与右乘矩阵的行数相等
  • 对角矩阵D右乘A相当于dj乘A的第j列的每一个元素，对角矩阵左乘B相当于di乘第i行的每一个元素
  • 两个n阶上三角矩阵A,B的乘积AB也是上三角矩阵
  • 矩阵多项式
• 矩阵的转置
  • 公式
  • 定义：对称矩阵和反对称矩阵
  • 奇数阶反对称矩阵的行列式等于0
• 矩阵运算与行列式的关系
  • 公式
  • 奇数阶反对称矩阵的行列式等于0
• 方阵的迹
  • 定义：主对角元素的和
  • 公式：注意左乘和右乘时迹相等
• 初等矩阵
  • 定义：n阶单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为n阶初等矩阵
  • 类型：初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵、初等对换矩阵
  • 左乘相当于行变换，右乘相当于列变换
• 可逆矩阵
  • 方阵的逆矩阵
    • 定义（可逆矩阵与其逆矩阵是同阶方阵，且可交换。逆矩阵是唯一的。
  • 伴随矩阵
    • 定义：理解：每一个位置用他的代数余子式代替
    • 伴随矩阵与方阵之间的关系：A*A=AA*=|A|En
  • 定理：A可逆的充要条件是|A|不等于0，且当A可逆时有A的逆矩阵等于A*1/|A|
    • 推论：设A、B都是n阶方阵，且AB=En,则AB均可逆，且互为逆矩阵
  • 可逆矩阵的性质（5条）
  • 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
  • 求逆矩阵的方法
    • 1、伴随矩阵法（常用于求2阶3阶方阵的逆矩阵）
    • 2、利用推论以及矩阵的运算律求逆矩阵
      • 理解：找到他和谁相乘等于单位阵
      • 书上一个不起眼的小结论：如果一个n阶方阵A的任一行（列）元素平方之和均为a，且任意两行（列）对应元素乘积之和等于零，则有A乘A的转置等于a倍的单位阵。
    • 3、初等变换法
      • 基于的定理：可逆矩阵经过一系列的初等行变换可化为单位矩阵
        • 推论：可逆矩阵可表示为若干个初等矩阵的乘积
      • 【A,En】经过初等行变换【En,A逆】
• 矩阵方程
  • 第一型矩阵方程AX=C
    • 方法一：等式两边同时左乘A的逆矩阵
    • 方法二：初等变换法 理解：和求逆矩阵的方法类似
  • 第二型矩阵方程XB=C
    • 方法一：等式两边同时右乘B的逆矩阵
    • 方法二：初等变换法
  • 第三型矩阵方程AXB=C
    • 方法一：令Y等于XB，先求得Y，再求得X 理解：此方法类似于变量代换
• 分块矩阵
  • 分块矩阵的运算
    • 分块矩阵的加法和数量乘法 理解：1、分发必须相同2、对应块相加
    • 分块矩阵的转置
      • 理解：双重转置，大矩阵整体转置，小矩阵内部也需要转置
    • 分块矩阵的乘法
      • 对应块相乘
      • 注意:分块矩阵的乘法要求左乘矩阵对列的分法和右乘矩阵对行的分法一致
    • 求解系数矩阵不是可逆矩阵的矩阵方程
      • 矩阵的分块乘法运算
  • 分块求逆法
    • 准对角矩阵
      • 定义：主对角线上的所有子块都是方阵，其余子块都是零矩阵的分块矩阵
      • 此处应该有一些公式
      • 注意次准对角矩阵求解逆矩阵时不要忘了倒序
• 矩阵的秩
  • k阶子式定义：任意选出k*k列
    • 矩阵的秩定义：A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，零矩阵的秩规定为零
    • 命题：A的秩为r当且仅当A有一个r阶子式非零，且所有r+1阶子式(如果存在)都是零
    • 由矩阵的秩引出的一些公式
  • 满秩矩阵（方阵）——满秩矩阵与方阵可逆的关系：由于方阵A的n阶子式就是|A|，所以方阵满秩等价于方阵可逆 行满秩矩阵和列满秩矩阵
  • 矩阵秩的计算
    • 可以被计算的根据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
    • 原理：行阶梯矩阵秩的个数恰好等于它非零行的个数
    • 推论：A是mn阶矩阵，P、Q均是可逆矩阵，有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)
      • 其实就是进行了初等行变换和初等列变换
  • 矩阵的相抵
    • 相抵标准型（零矩阵的相抵标准型为零矩阵）
      • 书上例题的结论：列（行）满秩矩阵只经过初等行（列）变换可化成其相抵标准型
    • 推论：PAQ=矩阵A的相抵标准型 理解：相当于给A进行了初等行变换和列变换
    • 等价条件：（1）A与B相抵（2）PAQ=B（3）r(A)=r(B)
  • 矩阵秩的性质
    • 5条，一定要记住啊，小牛同学！！！