不定积分

不定积分思维导图:不定积分的概念与性质,定义：f（x）的原函数的全体称为f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx如果F（x）为f（x）的一个原函数.则有∫f（x）dx=F（x）=C，其中C为任意常数./不定积分基本公式等等

不定积分

• 不定积分的概念与性质
  • 原函数
    • 定义：设f（x）在某区间（a，b）内有定义.若存在函数F（x），使其在该区间内任一点都有F‘（x）=f（x）则称F（x）为f（x）在该区间内的原函数.
  • 不定积分
    • 定义：f（x）的原函数的全体称为f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx如果F（x）为f（x）的一个原函数.则有∫f（x）dx=F（x）=C，其中C为任意常数.
  • 不定积分的几何意义
  • 原函数存在定理
    • 定理：若f（x）在区间I上连续，则f（x）在区间I上一定存在原函数.
    • 定理：若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f（x）在区间I上没有原函数.
  • 不定积分的性质
    • （∫f（x）dx）’=f（x）
      • d∫f（x）dx=f（x）dx
    • ∫f‘（x）dx=f（x）+C
      • ∫df（x）=f（x）+C
    • ∫[f（x）+-g（x）]dx=∫f（x）dx+-∫g（x）dx
    • ∫kf（x）dx=k∫f（x）dx（k为常数）
• 不定积分基本公式
• 三种主要积分法
  • 第一类换元积分法
    • 定理：设∫f（u）du=F（u）+C，u=φ（x）存在连续可导，则∫f[φ（x）]φ’（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）=F（φ（x））+C
  • 第二类换元积分法
    • 定理：设x=φ(t)是单调的可导的函数，并且 φ‘（t）≠0.又∫f[φ（t）]φ’（t）dt=F[φ^-1(x）]+C
  • 分部积分法
    • 分部积分法公式：∫udv=uv-∫vdu
    • 书本p74
• 三类常见可积函数积分
  • 有理函数积分∫R（x）dx
    • （1）一般方法（部分分式法）
    • （2）特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）
  • 三角有理式积分∫R（sinx，cosx)dx
    • (1)一般方法（万能代换）令tanx/2=t， ∫R（sinx，cosx）dx=∫R（2t/1+t^2,1-t^2/1+t^2)2/1+t^2dt
    • (2)特殊方法（三角变形，换元，分部）