高数

有关高数的思维导图，从平面及其方程、空间直线及其方程、曲线及其方程、空间曲线及其方程几个方面的内容总结。

平面、空间直线、曲面、空间曲线及其方程

平面及其方程

平面的点法式方程

平面的法向量：n=(A,B,C)

平面与法向量的交点M0(x0,y0,z0) 平面上的任一点M(x,y,z)

M0M·n=0

点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

平面的截距式方程

x/a+y/b+z/c=1 (a,b,c≠0）

平面的一般方程

Ax+By+Cz+D=0 (A^2+B^2+C^2≠0） 法向量为（A,B,C）

特殊情形

当D=0时,Ax+By+Cz+D=0是通过原点的平面

当A=0时，By+Cz+D=0是平行于x轴的平面

Cz+D=0，是平行于xoy面的平面

两个平面的夹角

空间直线及其方程

空间直线的一般方程

A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0

直线的对称式方程（点向式方程）

（x-x0）/m=（y-y0）/n=（z-z0）/p

直线的参数方程

（x-x0）/m=（y-y0）/n=（z-z0）/p=t 则x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt

线面间的位置关系

两直线的夹角

直线与平面的夹角

曲面及其方程

曲面方程：F（x，y，z）

球面上的坐标满足的方程：（x-x0）^2+（y-y0）^2+（z-z0）^2=R^2

A*x^2+A*y^2+A*z^2+Dx+Ey+Fz+G=0 可表示球面/点/虚轨迹

旋转曲面

曲线C f（y，z）=0

以z轴为轴的旋转曲面：f（±（x^2+y^2）^(1/2)，z）=0

以y轴为轴的旋转曲面：f（y，±（x^2+z^2）^(1/2)）=0

双曲线

绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面

绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面

旋转双曲面

柱面

圆柱面 x^2+y^2=R^2

在三维空间

方程F（x，y）=0表示柱面，母线平行于z轴，准线为xoy面上的曲线l1

方程G（y，z）=0表示柱面，母线平行于x轴，准线为yoz面上的曲线l2

方程H（z，x）=0表示柱面，母线平行于y轴，准线为xoz面上的曲线l3

二次曲面

椭圆锥面

椭球面

与坐标面的交线为椭圆

抛物面

椭圆抛物面

双曲抛物面（鞍形曲面）

双曲面

单叶曲面

双叶曲面

空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

F（x，y，z）=0 G（x，y，z）=0

空间曲线的参数方程

x=x（t） y=y（t） z=z（t）

圆柱螺旋线的参数方程

x=acosωt y=asinωt z=vt

令θ=ωt,b=v/ω

x=acosθ y=asinθ z=bθ

空间曲线在坐标面上的投影