导图社区 态和力学量的表象
态和力学量的表象知识总结，包括算符的矩阵表示、量子力学公式的矩阵表述、Dirac符号、线性谐振子与占有数表象等内容。
这是一篇关于态和力学量的表象的思维导图,态和力学量的表象，详细总结了态合的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述知识点。
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态和力学量的表象
态的表象
坐标表象 （任意态ψ（x,t）在坐标表象的表示）
坐标表象的本征函数为：Φx’=δ(x-x’)
动量表象（任意态ψ（x,t）在动量表象的表示）
动量的本征函数：
Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数
C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数
具有确定动量 p’ 的自由粒子态：
同理：x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数 是 δ(x'-x)
力学量表象（Ψ(x,t) 所描写的表示）
Q表象：算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...， 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
具有分立本征值的情况
矩阵形式
共轭矩阵
含有连续本征值的情况
归一化则变为：
算符的矩阵表示
力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
写成矩阵形式
Φ=FΨ
Q表象中力学量算符下的性质
力学量算符用厄密矩阵表示
所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
力学量算符在自身表象中的形式
算符在自身表象中是一对角矩阵 对角元素就是算符的本征值。
Q有连续本征值的情况
算符F在Q表象
坐标表象中 F的矩阵元
动量表象中 F的矩阵元
量子力学公式的矩阵表述
平均值公式
在Q表象中
本征方程
写成矩阵形式并整理为
此式为齐次线性方程组
久期方程
薛定谔方程的矩阵形式
力学量算符 Q的本征函数展开
Dirac符号
Dirac符号规定
右矢：表示某一表象的态矢量或态函数
左失：示某一表象的厄米共轭态矢量
左矢与右矢的标积
（1）定义：
（2）
(3)正交归一化条件
分立谱
连续谱
用狄拉克符号表示态
ψ，A →
ψ*，A+ →
正交归一的狄拉克符号表示
波函数归一化：
Q表象本征函数{un}的正交归一：
连续谱的本征函数{uλ}的正交归一
具体表象中的表示（Q表象）
Q的本征值为分立谱（基矢为
为态矢量在Q表象中的表示
本征矢的封闭性
Q的本征值为连续谱(基矢为
算符
线性谐振子与 占有数表象
湮灭算符
产生算符
性质
粒子数算符
线性谐振子
线性谐振子的哈密顿量
用算符a, a+ 表示振子哈密顿量
n 是N 算符的本征值，描写粒子的数目
能量的下限
基态能量
能量的一般表示式
能量本征值
占有数表象
以 |n >（粒子数算符的本征矢） 为基矢的表象称为占有数表象
湮灭算符 a 的矩阵元
产生算符 a+ 的矩阵元
线性谐振子哈密顿量的表示矩阵
主题
不同表象之间的变换和幺正变换矩阵
幺正变换矩阵
力学量 A, B 其本征方程分别为:
由于本征基矢 的封闭性 B 基矢可 按 A 的基矢展开：
简写
S 矩阵的么正性
求么正变换矩阵
方法一
方法二
反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表 象中的表示， 那末我们就可以直接把 S 变换矩阵写出来。
波函数和算符的变换关系
波函数的变换关系
对任一态矢 |u > 作用 A 的单位矢量
于是 |u > 在 A 表象中的表示为：
同理
则 |u > 在 B 表象中的表示
b 与 a 之间 的变换关系
算符 F 的变换关系
A 表象：
B 表象：
幺正变换的性质
么正变换不改变算符的本征值
设 F 在 A 表象中的本征方程为：F a = λa
在B 表象
么正变换不改变矩阵的迹
矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和
