态和力学量的表象

态和力学量的表象知识总结，包括算符的矩阵表示、量子力学公式的矩阵表述、Dirac符号、线性谐振子与占有数表象等内容。

态和力学量的表象

• 态的表象
  • 坐标表象 （任意态ψ（x,t）在坐标表象的表示）
    • 坐标表象的本征函数为：Φx’=δ(x-x’)
    • • 故任意态Ψ（x,t）在坐标表象的表示为
        • 因此若某一态波函数是以坐标为自变量,那么它就是在坐标表象的表示,就是某一态以坐标本征函数展开的系数.
  • 动量表象（任意态ψ（x,t）在动量表象的表示）
    • 动量的本征函数：
    • • Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数
    • • 故任意态Ψ（x,t）在动量表象的表示为
        • C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数
    • 假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一。 ∫|Ψ(x,t)|²dx=∫|C(p,t)|²dp =1
      • |Ψ(x,t)|²d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 测量粒子的位置所得结在 x → x + d x 范围内的几率。
      • |C(p,t)|²d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。
    • 具有确定动量 p’ 的自由粒子态：
      • • 所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 p为变量的δ- 函数。 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
      • 同理：x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数 是 δ(x'-x)
  • 力学量表象（Ψ(x,t) 所描写的表示）
    • Q表象：算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...， 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
    • 具有分立本征值的情况
      • • 矩阵形式
        • 共轭矩阵
      • 若Ψ, un都是归一化的， 则 an(t) 也是归一化的
        • 由此可知，| an|² 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
    • 既有分立本征值又有连续本征值
      • 归一化则变为：
        • |an(t)|²是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率 |aq(t)|²dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率
        • 矩阵形式
        • 共轭矩阵
  • 同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
    • 类比
    • 所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系 其中Q的本征函数：u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
    • 是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为希尔伯特空间
• 算符的矩阵表示
  • 力学量算符的矩阵表示
    • 坐标表象：
    • Q表象 （只有分立本征值）
    • • 写成矩阵形式
        • Φ=FΨ
  • Q表象中力学量算符下的性质
    • 力学量算符用厄密矩阵表示
      • 所以说明F矩阵的第n列m行的矩阵元等于他第m列第n行的矩阵元的共轭复数
        • 所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
    • 力学量算符在自身表象中的形式
      • • 写成矩阵形式
          • 算符在自身表象中是一对角矩阵 对角元素就是算符的本征值。
  • Q有连续本征值的情况
    • 算符F在Q表象
    • 坐标表象中 F的矩阵元
    • 动量表象中 F的矩阵元
• 量子力学公式的矩阵表述
  • 平均值公式
    • 在Q表象中
      • • 写成矩阵形式
    • 特例：力学量在自身表象中的期望值
      • 因为：
        • 所以：
          • 或
  • 本征方程
    • • 写成矩阵形式并整理为
        • 此式为齐次线性方程组， 方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零
        • 久期方程
          • 求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn, ....就是F的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi的本征矢 于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题
  • 薛定谔方程的矩阵形式
    • • 力学量算符 Q的本征函数展开
• Dirac符号
  • Dirac符号规定
    • 右矢：表示某一表象的态矢量或态函数
    • 左失：示某一表象的厄米共轭态矢量
    • 左矢与右矢的标积
      • （1）定义：
      • （2）
      • (3)正交归一化条件
        • 分立谱
        • 连续谱
    • 用狄拉克符号表示态
      • ψ，A →
      • ψ*，A+ →
      • 正交归一的狄拉克符号表示
        • 波函数归一化：
        • Q表象本征函数{un}的正交归一：
        • 连续谱的本征函数{uλ}的正交归一
    • 具体表象中的表示（Q表象）
      • Q的本征值为分立谱（基矢为
        • • • 为态矢量在Q表象中的表示，称其为态矢IA > 在基矢 In> 上的投影,又称为态矢 在Q表象中的波函数。
        • 投影算符
          • • 令：
        • 本征矢的封闭性
          • • 可以称它为单位算符
      • Q的本征值为连续谱(基矢为
        • • • 为态矢量在Q表象中的表示
        • 本征矢的封闭性
  • 算符
• 线性谐振子与 占有数表象
  • 算符
    • 湮灭算符
    • 产生算符
    • 性质
      • • 子主题
    • 粒子数算符
  • 线性谐振子
    • 线性谐振子的哈密顿量
      • 用算符a, a+ 表示振子哈密顿量
      • n 是N 算符的本征值，描写粒子的数目
    • • 能量的下限
      • 基态能量
      • 能量的一般表示式
        • 能量本征值
  • 占有数表象
    • 以 |n >（粒子数算符的本征矢） 为基矢的表象称为占有数表象
    • 湮灭算符 a 的矩阵元
    • 产生算符 a+ 的矩阵元
    • 线性谐振子哈密顿量的表示矩阵
• 主题
  • 不同表象之间的变换和幺正变换矩阵
    • 幺正变换矩阵
      • • 力学量 A, B 其本征方程分别为:
      • • 由于本征基矢 的封闭性 B 基矢可 按 A 的基矢展开：
      • • 写成矩阵形式
          • 简写
    • S 矩阵的么正性
    • 求么正变换矩阵
      • 方法一
        • 由S矩阵元的定义式： 计算出全部矩阵元即可得到S矩阵
      • 方法二
        • • • 反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表 象中的表示， 那末我们就可以直接把 S 变换矩阵写出来。
  • 波函数和算符的变换关系
    • 波函数的变换关系
      • • 对任一态矢 |u > 作用 A 的单位矢量
        • • • 于是 |u > 在 A 表象中的表示为：
      • 同理
        • • • • 则 |u > 在 B 表象中的表示
      • • b 与 a 之间 的变换关系
    • 算符 F 的变换关系
      • A 表象：
      • B 表象：
  • 幺正变换的性质
    • 么正变换不改变算符的本征值
      • 设 F 在 A 表象中的本征方程为：F a = λa
      • 在B 表象
    • 么正变换不改变矩阵的迹
      • 矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和