平面向量-基础知识题型梳理

平面向量-基础知识题型梳理：包括基本概念、运算、基本定理、解题思路、三角形四心、奔驰定理、等和弦定理等等。

平面向量

• 基本概念
  • 向量
    • 不能比大小，可以任意平移
    • 既有大小又有方向的量
  • 模
    • 向量的大小
  • 零 向量
    • 与任一向量平行（或共线）
    • 长度为 0且方向任意的向量
  • 单位向量
    • 长度为 1且方向任意的向量
  • 相等向量
    • 长度相等且方向相同的向量
  • 相反向量
    • 长度相等且方向相反的向量
  • 共线向量
    • 方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量
• 运算
• 基本定理
  • 如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一的一对实数λ1 ，λ2 ，使a＝λ1 e 1 ＋λ2 e 2 ，其中，不共线的向量e1 ，e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1 ，e2 }．
• 解题思路
  • 几何
  • 代数
    • 给出坐标，用坐标运算
    • 给出包含特殊角的--建系
    • 活条件死答案的--特殊化--建系
• 常见结论
  • 矩形
  • 菱形
  • 角平分线
  • 垂直模型
  • 最值模型
  • 圆的模型
    • 垂直
      • 特殊的圆中对角互补
    • 互补角
      • 条件向量夹角为对角且互补，利用圆解
• 三角形四心
  • 重心
  • 外心
    • OA=OB=OC
  • 内心
  • 垂心
• 奔驰定理
  • 定义
  • 推论
• 等和弦定理
  • 定义
  • 兴趣
    • (1) 当等和线恰为直线AB 时，k ＝1 ；
    • (2) 当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈ (0 ，1) ；
    • (3) 当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈ (1 ，＋∞) ；
    • (4) 当等和线过点P 时，k ＝0 ；
    • (5) 若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数．
  • 步骤
    • (1)确定值为1的等和线；
    • (2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线
    • (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．
• 极化恒等式
  • 平行四边形
  • 三角形
  • 步骤
    • (1) 取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
    • (2) 利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
    • (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
• 共线定理(爪子定理)