导图社区 线性代数
线性代数思维导图：包含向量及其运算，向量内积，向量及其运算，线性关系的判定，为向量组添加多个分量，即接长向量组必相性无关，向量组的秩，极大线性无关向量组等等
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线性代数
第一章向量与线性空间
向量及其运算
线性运算
向量内积
内积
模
距离
夹角
线性关系
线性组合与线性表出
线性相关与线性无关
线性关系的判定
部分相关，整体相关。整体无关，部分无关
为向量组添加多个分量，即接长向量组必相性无关
短无关，长无关。长相关，短相关
向量组的秩
极大线性无关向量组
向量组的线性表示
向量组b中的每个向量都能由向量组a线性表示
向量组等价
向量组a，b可以相互线性表示，就是等价
线性空间
数域
线性空间的运算
性质
线性子空间
基和维数
正交向量组
正交向量
两个向量内积等于0
向量组不含0向量且任意两个不同向量都正交
正交向量组线性无关
标准正交向量组
每个向量都是单位向量的一个正交向量组
标准正交基
在n维欧氏空间，若有一组基e1..en满足标准正交向量组的条件，则称那组基为标准正交基
向量组的标准正交化
斯密特正交化方法
第二章矩阵及其数字特征
行列式
行列式是方阵的一个数字特征
二阶行列式与三阶行列式
几何意义
二阶行列式
平行四边形面积
三阶行列式
平行六面体体积
n阶行列式
余子式
Mij
划去元素aij所在的行和列，剩余元素保持n-1阶行列式
代数余子式
如果有一行/列元素全为0则行列式=0
多面体体积
行列式的性质
行列式转置
行列式有两行/列的对应元素完全相同或成比例则行列式=0
行列式的某一行/列的元素与另一行/列对应元素的代数余子式的乘积之和=0
行列式的某一行/列的每个元素同乘k后加到另一行/列对应元素上，行列式值不变
行列式的计算
三角行列式
上三角行列式
下三角行列式
范德蒙行列式
克莱姆法则
线性方程组求解问题
可逆矩阵
定义
逆矩阵唯一
可逆矩阵的求法
伴随矩阵
由每个元素的代数余子式Aij构成
伴随矩阵与逆矩阵
可逆矩阵经过有限次初等行变换化为单位矩阵
矩阵的秩
k阶子式
秩
矩阵A有一个不等于0的r阶子式D,且所有的r+1阶子式全为0，则D为矩阵A的最高阶非0子式，r称为矩阵A的秩，r（A）
若矩阵A和B等价，则r(A)=r(B)
满阶矩阵，降阶矩阵
行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数
计算矩阵的秩可以将它转换成行阶梯型矩阵
矩阵
概念
n阶矩阵/n阶方阵
迹tr(A)
主对角线元素之和
准对角矩阵
上三角矩阵
对角矩阵
单位矩阵
线性方程的矩阵形式
系数矩阵
增广矩阵
向量组的矩阵形式
分类
单元素矩阵
行矩阵
列矩阵
矩阵相等
有同样的行数、列数，且对应位置的元素相等
同型矩阵
有同样的行数、列数
同型矩阵才能加法运算
负矩阵
数乘矩阵
矩阵的转置
转置矩阵
对称矩阵
为n阶方阵且AT=A
乘法
乘积矩阵
乘法与向量的变换
线性变换的矩阵
投影变换矩阵
旋转变换矩阵
初等变换
初等矩阵
对换型矩阵
数乘型矩阵
消元型矩阵
矩阵的化简与三类重要矩阵
行阶梯形矩阵
每行第一个非0元素前的0元素个数随着行数增加严格递增
若某行元素全为0则以下所有行的元素全为0
行最简形矩阵
为行阶梯型矩阵
每行第一个非0元为1且其所在列的其他元素都为0
等价矩阵
矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B
矩阵数字特征
向量组与矩阵的秩
线性相关
向量组a线性无关的充要条件是由a构成的n阶行列式不等于0
Amn矩阵的秩=其列/行向量组的秩
极大无关组
Dr不等于0(r个列向量线性无关)，Dr+1=0（任意r+1个向量线性相关），Dr是一个极大无关组
矩阵方程
方程两边同乘相应矩阵的逆矩阵
特征值与特征向量的概念
研究方阵对角化的基础
特征值
特征向量
特征值与特征向量的计算
特征矩阵
特征多项式
特征值的性质
特征向量的性质
矩阵的数字特征
内容
若A为n阶方程
A可逆
A的行/列向量组线性无关
数字特征相同的一类矩阵
相似矩阵
自反性
对称性
传递性
若A,B相似则
矩阵对角化
n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A可对角化
若方阵的所有重特征值所对应的特征向量的极大无关组中向量个数和该特征值的重数相等，则方阵可对角化
第四章线性方程组及其解空间
齐次线性方程组
矩阵形式
含有n个未知量m个方程的齐次线性方程组可以写成矩阵方程的形式即AX=0
A是方程组的系数矩阵
X是由n个未知量构成的列向量
同解方程组
方程组AX=0的系数矩阵A做一系列初等行变换，化成行阶梯型矩阵D，则DX=0与方程组AX=0是同解方程组
方程组AX=0的解与系数矩阵A的秩r的关系
r(A)=n
只有唯一的0解
r(A)<n
有无穷多解
n为未知量个数
当齐次线性方程组中方程的个数小于未知量的个数时，该方程组一定有非0解
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的基础解系不唯一但每个基础解系所含解向量个数一定相同
若含有n个未知量的齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩r（A）=r<n,则该方程组的基础解系必存在，且所含解向量的个数为n-r
齐次线性方程组的解法
求方程组通解步骤
用初等行变换将系数矩阵A化成行阶梯型矩阵B
根据矩阵B的非0行写出A的秩r，方程组含有n-r个自由未知量xr+1，xr+2...xn
线性方程组的解空间
齐次线性方程组的一个解成为一个解向量，所有解向量构成的集合称为解集合记为S
特征向量的解法
矩阵特征值特征向量求解步骤
矩阵的对角化
对角化步骤
求出所有的特征值
求出所有特征值对应的线性无关的特征向量
非齐次线性方程组的结构
常数项不全为0的线性方程组
非齐次线性方程组的求解
求解步骤
判断非齐次线性方程组是否有解，及解的个数
