多元函数积分学

①曲线封闭且无奇点在内部，直接使用格林公式；②曲线封闭但有奇点在内部，若奇点外积分与路径无关，则换路径。

多元函数积分学

• 二重积分
  • 定义
  • 几何意义
  • 性质
    • 比较定理
    • 估值定理
    • 中值定理
  • 计算
    • 直角坐标系 将重积分化为累次积分
      • 先x后y
      • 先y后x
    • 极坐标系
    • 利用对称性和奇偶性
• 三重积分
  • 概念与对称性
    • 三重积分的概念
    • 对称性
      • 普通对称性
      • 轮换对称性
  • 计算
    • 直角坐标系
      • 先一后二法（投影穿线法）
        • 适用场合：平行于z的直线与边界曲面至多两个交点
        • 计算方法
      • 先二后一法（定限截面法）
        • 适用场合
        • 计算方法
    • 柱面坐标系
      • 极坐标下的二重积分与定积分
    • 球面坐标系
      • 适用场合
      • 计算方法
  • 应用
    • 体积
    • 总质量
    • 重心
    • 转动惯量
    • 引力
• 第一型曲线积分
  • 概念与对称性
    • 第一型曲面积分的概念 与积分路径无关
    • 对称性
      • 普通
      • 轮换
  • 计算
    • 一投二代三计算（化为定积分）
      • 直接法
      • 利用奇偶性
        • 关于x轴对称
        • y轴对称
      • 利用轮换对称性
        • 关于y=x对称
  • 应用
    • 物质曲杆
      • 曲杆长度（弧长）
      • 总质量
      • 重心（质心）
      • 转动惯量
• 第二型曲线积分
  • 第二型曲面积分
    • 概念
      • 做功
        • 与积分路径有关
    • 计算
      • 基本方法
        • 一投二代三计算
      • 格林公式
        • ①曲线封闭且无奇点在内部，直接使用格林公式
        • ②曲线封闭但有奇点在内部，若奇点外积分与路径无关，则换路径
        • ③非封闭曲线若积分与路径无关，则换路径（换简单路径
        • ④非封闭曲线，可补线使其封闭
        • ⑤积分与路径无关问题
      • 空间问题
        • ①一投二代三计算（参数方程简单或曲线不在同一平面上）
        • ②曲线封闭且在同一曲面上，用斯托克斯公式
        • ③rot F=0 可以换路径
      • 两类曲线积分的关系
• 第一型曲面积分
  • 概念与对称性
    • 第一类曲面积分的概念
      • 与积分路径无关
    • 对称性
  • 计算
    • 一投二代三计算（化为二重积分）
      • 直接法
      • 利用奇偶
        • 关于xoy面之类
      • 利用对称性
  • 应用
    • 曲面薄板（物质曲面）
      • 曲面面积
      • 总质量
      • 曲面重心
      • 转动惯量
• 第二型曲面积分
  • 概念
    • 通量 与积分路径有关
  • 计算
    • 基本方法
      • 一投二代三计算（化为二重积分）
    • 高斯公式
      • ①曲面封闭且无奇点在内部，直接使用高斯公式
      • ②曲面封闭但有奇点在内部，若奇点外div F=0，则换个面积分（边界不需要与原曲面重合
      • ③非封闭曲面，若div F=0 可换个面积分（边界需要与原曲面重合
      • ④非封闭曲面，补面
      • ⑤由div F=0，建立方程求解
    • 两类曲面积分的关系
• 散度与旋度
  • 旋度
  • 旋度