线性代数

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数

• 行列式
  • 定义
    • 行、列、行列式及其元素、项、对角线法则、逆序及逆序数、对换、相邻兑换、有向面积、n阶次行列式
  • 性质
    • 转置、交换、提常（相重）、和、倍加不变性、反对称行列式、对称行列式 方法：用性质变上下三角、主对角线有零、第一行最小、无一变1、列等和行列式（加、提、上三）、等比数列通项与求和公式
  • 展开定理
    • 余子式、代数余子式（符号）、展开法则（出现0）、拉普拉斯定理，行列式的乘法 解行列式方法：定义法、性质法、展开法
  • 计算
    • 定义求（n方减n定理）、箭型行列式、展开定理、数学归纳法、范德蒙、递推法、升阶法、利用已知行列式
  • 克莱姆法则
    • 克拉默法则、三结论（齐次线性方程组）
• 矩阵
  • 定义与运算
    • 1.定义、线性变换、方阵定义、方阵的行列式（3性质2推论，方阵的幂运算，数学归纳法）、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵、分块矩阵、行向量和列向量（行乘列为数，列乘行为阵）、向量维数、2.加法、数乘、转置、内积、矩阵与向量相乘（意义表示对向量的线性变换、A矩阵与B矩阵相乘（A列同B行、结果矩阵行同A列同B，交换律不一定会成立、表征对向量的复合变换）、标量与矢量、 3.矩阵的运算性质（结合律'矩阵连乘出现与分配律、数乘性质、零矩阵性质、单位矩阵性质、转置性质、）、矩阵的乘方（一定是方阵）
  • 特殊矩阵
    • 对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、对称和反对称矩阵、幂零、幂等、幂幺矩阵
  • 可逆矩阵
    • 方阵才有可逆矩阵且非零矩阵、伴随矩阵（性质a与a伴随相乘等于a的行列式乘以E）、矩阵方程的计算公式，二阶矩阵的伴随矩阵（主对调，副相反），可逆矩阵与原矩阵相乘为单位矩阵
  • 矩阵分块
    • 分块矩阵、加法、数乘、乘法、转置，可逆分块矩阵、分块对角矩阵、分块三角形矩阵、
  • 矩阵的初等变换与初等矩阵
    • 初等变换三种形式、矩阵等价（反身、对称、传递）、矩阵的标准型，初等矩阵概念、类型（对换、数乘、等加倍）、初等矩阵与初等变换的关系、初等变换求逆矩阵（单位矩阵求）、
  • 矩阵的秩
    • k阶子式（本质是行列式）、秩（r阶子式是否为零判断）、初等变换求矩阵的秩、行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵、常见结论（矩阵积秩、分块矩阵定理、希尔维斯特不等式、矩阵和秩不等式）
• 向量与线性方程组
  • 线性方程组的存在性
    • 高斯消元法（求解）、线性方程组解的存在性判断（非齐次：三种情况自由未知量、齐次一定理两推论）、系数矩阵、增广矩阵 简化行阶梯形矩阵
  • 向量组的线性相关性
    • n维向量，实向量，行向量、列向量、向量相等、向量组 线性表示、线性组合、组合系数、向量方程组的向量表现形式、判断定理 线性相关三性质（零、基、向量平行？、单个向量），与线性无关，向量方程组转换后的一定理，二推论 线性相关性定理（充要条件、部分整体、短长、加B)
  • 向量组的秩
    • 向量组的等价 极大线性无关 向量组的秩与矩阵的秩（列秩与行秩）、三秩相等
  • 向量空间
    • 概念和运算性质 基、维数、坐标 子空间及其维数（平凡子空间）
  • 线性方程组解的结构
    • 齐次结构（非零解与零解、解空间、基础解系、） 非齐次（两性质、结构定理）
• 矩阵相似对角化
  • 概念
  • 欧氏空间
    • 内积及性质、欧氏空间、柯西布瓦兹不等式、向量长度、夹角、余弦定理、正交 ijk三基标准正交基、正交向量组、标准正交向量组正交基、克罗内克符号、正交化方法、 正交矩阵及其性质
  • 方阵的特征值和特征向量
    • 阶梯形矩阵、等价标准型、特征值、特征向量 特征值的性质（矩阵的迹、3定理） 特征向量的性质（四定理）
  • 矩阵相似对角化条件
    • 相似矩阵
      • 定义、2性质、一定理
    • 矩阵可对角化条件
      • 2定理
    • 矩阵相似对角化的应用
      • 高次幂计算
  • 实对称矩阵的相似对角化
    • 实对称矩阵（概念）的特征值与特征向量：2定理 实对称矩阵相似对角化：1定理
  • Jordan标准型介绍
    • Jordan矩阵：是什么，特点 求方阵的Jordan矩阵和可逆变换步骤
• 二次型
  • 什么是二次型？标准型和正定二次型
  • 二次型及其矩阵表示
    • 二次型基本概念 线性替换：可逆线性替换、正交替换 矩阵的合同：定义、定理
  • 化二次型为标准型
    • 非退化线性替换、正交替换法 配方法 初等变换法
  • 化二次型为规范型
    • 实二次型的规范型：定理、正惯性指数、负惯性指数、符号差 复二次型的规范型：定理、
  • 正定二次型和正定矩阵
    • 基本概念：不定、正负半定矩阵 判定：顺序主子式，两命题，二定理、 正定矩阵性质：3 其他有定二次型：两定理
• 线性空间与线性变换
  • 线性空间概念
    • 定义与例子、性质（4） 子空间：两定理、交空间与和空间、 实内积空间：定义、定理
  • 线性空间的基。维数和坐标
    • 基、维数、2定理 坐标：定义 基变换与坐标变换：定义、定理
  • 线性变换
    • 概念、变换、像、原像 线性变换的简单性质（4） 线性变换的矩阵表示：定义、定理
  • 线性变换在不同基下的矩阵
    • 定理