最新小学数学奥数知识精华

小学奥数：5.1.基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b，那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

小学数学奥数知识精华总结

• 1. 计算体系
  • 1. 速算与巧算
    • 学习基础
  • 2. 大小比较、
  • 3. 估算、
  • 4. 定义新运算
    • 4.1. 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
    • 4.2. 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
    • 4.3. 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
    • 4.4. 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
    • 近几年小升初考试题都会出现
  • 5. 分数
    • 5.1. 基本概念与性质： 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。 分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
    • 5.2. ①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律） ⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。 ⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
  • 6. 列方程
    • 五六年级掌握
• 2. 数论体系
  • 1. 整除问题
    • 1.1. 整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
    • 1.2. 整除判断方法：
      • 1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
      • 2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
      • 3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
      • 4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
      • ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
      • 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
    • 1.3. 子主题
  • 2. 约倍问题
  • 3. 带余除法
  • 4. 同余问题
    • 4.1. ①自身性：a≡a(modm)； ②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)； ③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)； ④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)； ⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)； ⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)； ⑦同倍性：若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
  • 5. 余数性质
    • 5.1. 基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b，那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
    • 5.2. ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
  • 6. 物不知其数
  • 7. 质数合数
    • 7.1. 质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
    • 7.2. 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
    • 7.3. 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数
    • 7.4. 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
    • 7.5. 互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
    • 基础知识
  • 整体分为“除尽”和“除不尽”两大部分
• 3. 计数体系
  • 1. 加法和乘法原理
    • 1.1. 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。
    • 1.2. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。
    • 基础知识，三四五年级
  • 2. 排列组合、
  • 3. 抽屉原理
  • 4. 容斥原理与概率问题
• 4. 几何体系
  • 4.1. 直线
  • 4.2. 曲线
  • 4.3. 立体
  • 四五六年级
• 5. 应用题体系
  • 5.1. 和差倍问题、
    • ①(和－差)÷2=较小数
    • ②(和＋差)÷2=较大数
    • 子主题
    • 子主题
  • 5.2. 年龄问题、
    • ①两个人的年龄差是不变的；
    • ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
    • ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
  • 5.3. 植树问题、
    • 基本公式棵数=段数＋1
    • 棵距×段数=总长棵数=段数－1
    • 棵距×段数=总长棵数=段数
    • 棵距×段数=总长
    • 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
  • 5.4. 方阵问题、
  • 5.5. 鸡兔同笼问题
    • 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
    • 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
    • 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
  • 5.6. 归一问题
    • 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
    • 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量
  • 5.7. 盈亏问题
    • 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
    • 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
    • ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
    • ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
    • ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
    • 关键问题：确定对象总量和总的组数。
  • 三四年级
  • 5.8. 经济问题、
  • 5.9. 浓度问题、
  • 5.10. 工程问题、
    • ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率
  • 5.11. 牛吃草问题
    • 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
    • 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
    • 关键问题：确定两个不变的量。
    • 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）
    • 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量
  • 5.12. 分数百分数问题
  • 五六年级
• 6. 行程体系
  • 6.1. 简单相遇追及
    • 基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
    • 速度和×相遇时间=相遇路程
    • 追及时间＝路程差÷速度差
  • 6.2. 流水行船、
    • 顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
    • 逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
    • 静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
  • 6.3. 火车过桥
  • 整体行程部分的内容
  • 6.4. 多次相遇追及
    • 直线
    • 环形
  • 6.5. 变速
  • 难度增加
  • 6.6. 时钟
    • 1、按照行程问题中的思维方法解题； 2、不同的表当成速度不同的运动物体； 3、路程的单位是分格（表一周为60分格）； 4、时间是标准表所经过的时间；
    • 延伸
• 7. 组合体系
  • 7.1. 数字谜
  • 7.2. 数阵图、
  • 7.3. 幻方、
  • 7.4. 逻辑推理、
    • ①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
    • ②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
    • ③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
    • ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
    • ⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
  • 7.5. 策略、
  • 7.6. 不定方程、
  • 7.7. 最值问题