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小学奥数:5.1.基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
编辑于2022-07-07 14:52:34小学数学奥数知识精华总结
1. 计算体系
1. 速算与巧算
学习基础
2. 大小比较、
3. 估算、
4. 定义新运算
4.1. 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
4.2. 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
4.3. 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
4.4. 注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
近几年小升初考试题都会出现
5. 分数
5.1. 基本概念与性质: 分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
5.2. ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
6. 列方程
五六年级掌握
2. 数论体系
1. 整除问题
1.1. 整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
1.2. 整除判断方法:
1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
1.3. 子主题
2. 约倍问题
3. 带余除法
4. 同余问题
4.1. ①自身性:a≡a(modm); ②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm); ③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm); ④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm); ⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm); ⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);
5. 余数性质
5.1. 基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
5.2. ①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
6. 物不知其数
7. 质数合数
7.1. 质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
7.2. 合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
7.3. 质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数
7.4. 分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
7.5. 互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
基础知识
整体分为“除尽”和“除不尽”两大部分
3. 计数体系
1. 加法和乘法原理
1.1. 加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.......+mn种不同的方法。
1.2. 乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。
基础知识,三四五年级
2. 排列组合、
3. 抽屉原理
4. 容斥原理与概率问题
4. 几何体系
4.1. 直线
4.2. 曲线
4.3. 立体
四五六年级
5. 应用题体系
5.1. 和差倍问题、
①(和-差)÷2=较小数
②(和+差)÷2=较大数
子主题
子主题
5.2. 年龄问题、
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
5.3. 植树问题、
基本公式棵数=段数+1
棵距×段数=总长棵数=段数-1
棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
5.4. 方阵问题、
5.5. 鸡兔同笼问题
基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式: ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
5.6. 归一问题
问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量
5.7. 盈亏问题
基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
①一次有余数,另一次不足; 基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数; 基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足; 基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
关键问题:确定对象总量和总的组数。
三四年级
5.8. 经济问题、
5.9. 浓度问题、
5.10. 工程问题、
①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率
5.11. 牛吃草问题
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间)
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量
5.12. 分数百分数问题
五六年级
6. 行程体系
6.1. 简单相遇追及
基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
速度和×相遇时间=相遇路程
追及时间=路程差÷速度差
6.2. 流水行船、
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
6.3. 火车过桥
整体行程部分的内容
6.4. 多次相遇追及
直线
环形
6.5. 变速
难度增加
6.6. 时钟
1、按照行程问题中的思维方法解题; 2、不同的表当成速度不同的运动物体; 3、路程的单位是分格(表一周为60分格); 4、时间是标准表所经过的时间;
延伸
7. 组合体系
7.1. 数字谜
7.2. 数阵图、
7.3. 幻方、
7.4. 逻辑推理、
①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
③条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。
④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。
7.5. 策略、
7.6. 不定方程、
7.7. 最值问题