导图社区 数量关系-粉笔
这是一篇关于数量关系的思维导图，主要内容包括：几何问题，溶液问题，排列组合与概率，容斥问题，最值问题，经济利润问题，行程问题，工程问题，解题思维。
社区模板帮助中心，点此进入>>
党章建设思维导图
国考地理高频考点知识汇总
公考言语理解与表达-选词填空
公务员省考图形推理
法理学笔记
公考申论命题点
法理学
国考判断课总结【注意】
我的行测痛点
公务员考试：申论
数量关系
解题思维
代入排除
使用范围
典型题
年龄问题
余数问题
不定方程问题
多位数问题
看选项
选项为一组数、可转化为一组数
剩两项
只剩两项时，代入一项即得到答案
数字特性
奇偶特性
适用范围
知和求差，知差求和
不定方程
2倍（4倍、6倍等偶数倍）、平均分成两份
判定方法
乘法：一数为偶则得偶，两数同奇则得奇
倍数特性
平均分组
例：每组8个人，且均为5男3女 则：总人数一定是8的倍数，男性人数一定是5的倍数，女性人数一定是3的倍数
分数、百分数、比例、倍数
例：A/B=3/5=3m/5m（A、B均为正整数） 则：A是3的倍数，B是5的倍数，（A+B）是8的倍数，（B-A）是2的倍数
A=3/5 x B、A是B的0.6倍、A=60% x B，应转化为A/B=3/5
粉笔小贴士：分数一定要化成最简分数
整除判定
拆分法
例：517=470+47，所以可以被47整除
因式分解
例：15=3×5，故判断一个数能否被15整除只需判断这个数能否同时被3和5整除
粉笔小贴士:分解时必须互质
口诀
2、5:当且仅当末一位可以被2、5整除
4:当且仅当末两位可以被4整除 8:当且仅当末三位可以被8整除
3、9:当且仅当各位数字之和可以被3、9整除
尾数法
计算时结合尾数，比如：5x的尾数一定是0或5（.x为整数）
代入技巧
先排除后代入
优选简单数字代入
问最大，优先代入最大的选项 问最小，优先代入最小的选项
方程思维
普通方程、方程组
设未知数技巧
设小不设大(避免分数)
设中间量(方便列式)
求谁设谁(避免陷阱)
未知数一定是整数：用数字特性缩小范围之后，进行代入排除
未知数不一定是整数：赋零法，赋系数最复杂的未知数为0
工程问题
总量=效率 x 时间
题干给多个完工时间：赋总量(时间的公倍数)，求效率，算问题
题干给出效率比:赋效率(符合比例即可)，求总量，算问题
题干给出效率或总量的具体值:设未知数,找等量关系列方程
行程问题
路程=速度 x 时间
平均速度
总路程÷总时间
等距离平均速度
适用范围：等距离上下坡问题、往返问题
相遇问题
相遇距离(路程和)=(V大+V小) x 相遇时间
直线多次相遇：直线两端出发，第n次相遇共走了(2n-1)个全程
环形相遇：第n次相遇共走了n圈
追及问题
追及距离(路程差)=(v大-v小) × 追及时间 追及距离代表开始时刻两者之间的距离
环形追及:第n次追上时快的人比慢的人多走了n圈
流水行船问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=船速、漂流速度=水速
经济利润问题
基础经济
公式
利润=售价一成本
利润率=利润/成本
折扣=折后价÷折前价
总价=单价x数量
方法
方程法、赋值法
分段计费
出租车费、水电费、税费等计费方式
分段计算,汇总求和
函数最值
特征：
单价和销量此消彼长，求总售价或总利润的最大值
方法：
两点式
最值问题
最不利构造
特征：至少……保证……
方法：最不利情况数+1（最倒霉情况数+1）
构造数列
特征：某个主体最大/小
方法：排序定位、反向构造、加和求解
粉笔小贴士
答案取整：问最多、向下取整；问最少，向上取整
注意主体是否可以相等
多集合反向构造
特征：都满足的最少……
方法：反向、求和、作差
容斥问题
特征：多个集合有重复
公式法
两集合
A+B-A∩B=总数-都不
三集合
标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=总数-三个都不满足
非标准型公式：A+B+C-只满足两个条件-2 x 满足三个条件=总数-三个都不满足
常识型公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-三个都不满足
粉笔小贴士：题干中出现“（只）满足两个条件”，用三集合非标准型公式
画图法
画圈圈，标数据
从里到外，注意去重
粉笔小贴士：题干中出现“只满足某一个条件”，用画图法
排列组合与概率
概念一
分类（要么……要么……）
加法
分步（即……又……）
乘法
概念二
排列
整体中区部分，跟顺序有关（不可互换）
组合
整体中区部分，跟顺序无关（可以互换）
排列模型
n个人排成一队
必须相邻
捆绑法，先捆绑必须相邻的元素，捆绑后将其看成一个整体和其他元素一期排列
不能相邻
插空法，先排可以相邻的元素，再讲不能相邻的元素插空放入
n个人排成一圈
，n代表人数
同素分堆
m个人分n个苹果，每人至少1个
插板法
m个人分n个苹果，每人至少3个
转化成每个人至少1个：先每个人分2个，剩下的苹果在分给m个人，变成每人至少1个
错位排列
特征：第二次排列和第一次排列位置不同 例：四辆车从车库开出，重新停入车库，均不能停回原来的车位
结果数:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D3=44；最常考的是D4和D5
概率
给情况求概率：概率=满足要求的个数\总个数
给概率求概率：分类用加法，分步用乘法
某个事件发生的概率=1 - 不发生的概率
溶液问题
基础公式
浓度=溶质质量÷溶液质量
溶液质量=溶质质量+溶剂质量 例：糖水=糖+水
题型
溶液混合
特征
已知两种或多种不同浓度溶液混合，求混合浓度
方程法：根据总浓度=总溶质质量÷总溶液质量列方程
线段法
(1)混合前写两边，混合后写中间
(2)距离(浓度差)和量(溶液质量)成反比
溶液不变
特征：倒出部分溶液后，用水加满
方法：浓度为r的溶液，倒出a%，再加满水，浓度变为r x (1-a%)
溶质不变
特征：题干中出现溶液和水混合或者蒸发溶液中的水
方法：根据溶质质量不变,列式求解
几何问题
平面几何
基础题型
规则图形：公式法
不规则图形：割补平移
面积比例
底(高)相等的三角形：面积之比等于高(底)之比
相似三角形:对应边之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方
平面最短路径
镜面对称再连线
立体几何
表面积
正方体：
长方体:2(ab+ac+bc)
球：
体积
圆柱体：
棱锥：
常用结论
几何最值理论：几何图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；表面积一定，越接近与球，体积越大
圆内接三角形：直径所对的角为直角、直角所对的弦是直径
特殊三角形：含30°角的直角三角形（1：
：2）;含45°角的直角三角形（1：1：
）
