函数

这是一篇关于函数的思维导图，主要内容有函数、指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用。

函数

• 函数
  • 函数
    • 概念
      • 实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合a中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和他对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
    • 表示法
      • 解析法
      • 列表法
      • 图像法
  • 函数单调性和最值（设函数y=f(x)的定义域为D）
    • 如果对于任意的x₁x₂∈D,当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就称函数y=f(x)是增函数.特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增
    • 如果对于任意的x₁x₂∈D,当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就称函数y=f(x)是减函数.特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减
    • 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时，区间I为函数y=f(x)的单调区间
    • 若存在实数M,对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x。∈D，使得f(x。)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值
    • 函数的最大值和最小值统称为最值
  • 函数的奇偶性与简单的幂函数
    • 函数的奇偶性
      • 一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，有-x∈A,且f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)为奇函数.奇函数的函数图像关于原点对称
      • 设函数y=f(x)的定义域是A，如果对于任意的x∈A，有-x∈A,且f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)为偶函数.偶函数的图像关于y轴对称
      • 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性.奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称
    • 简单的幂函数
      • 一般的，形如y=xⁿ(n为常数）的函数，即底部是自变量、指数是常数的函数称为幂函数
• 指数运算与指数函数
  • 指数幂的拓展
    • 给定正数a和正整数m，n（n>1,且m,n互素），若存在唯一的正数b,使得bⁿ=aⁿ，则称b为a的m/n次幂，记作b=a,m/n次方.这就是正分数指数幂
  • 指数幂的运算性质
    • （1）a²×a³=a²﹢³
    • （2）(a²)³=a²×³
    • （3）(ab)²=a²b²
  • 指数函数
    • 概念
      • 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数n，都有唯一确定的正数y=aⁿ与之对应.因此y=aⁿ是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数
    • 性质
      • (1)定义域是R，函数值大于0 (2)图像过定点(0,1)
      • 对于函数y=aⁿ和y=bⁿ(a>b>1) (1)当n<0时，0<aⁿ<bⁿ<1 (2)当n=0时，aⁿ=bⁿ=1 (3)当n>0时，aⁿ>bⁿ>1
      • 对于函数y=aⁿy=bⁿ(0<a<b<1) (1)当n<0时，aⁿ>bⁿ>1 (2)当n=0时，aⁿ=bⁿ=1 (3)当n>0时，0<aⁿ<bⁿ<1
• 对数运算与对数函数
  • 对数的概念
    • 一般的，如果a(a>0，且a≠1）的n次幂等于N，即aⁿ=N，那么数n称为以a为底N的对数，记作㏒aN=b 其中a叫作对数的底数，N叫作真数
    • 当对数的底数a=10时，通常称之为常用对数，并将㏒10N简记为lgN
    • 在科学技术领域，常常使用以无理数e=2.718281…为底数的对数，称之为自然对数，并将㏒eN简记为㏑N
  • 对数的运算
    • 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，n∈R，则对数运算具有如下运算性质 (1)㏒a(M·N)＝㏒aM+㏒aN (2)㏒aM/N=㏒aM－㏒aN (3)㏒aMⁿ=n㏒aM
    • 若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则 ㏒a b=㏒c b/㏒c a
  • 对数函数
    • 对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数n，使得y=aⁿ,由函数的定义，n就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作n=㏒ay
  • 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
    • 随着自变量n的增大，y=aⁿ的函数值增长远远大于y=nc的函数值增长，而y=nc的函数值增长又远远大于y=㏒bn的函数值增长
  • 信息技术支持的函数研究
• 函数应用
  • 方程解的存在性及方程的近似解
    • 零点存在定理
    • 二分法
  • 实际问题中的函数模型