平行图形的认识（二）

苏科版七下平行图形的认识（二）平行图形的认识，包括探究直线平行的条件，探究平行线的性质，图形的平移。认识三角形，多边形的内角和与外角和。

平行图形的认识（二）

• 探究直线平行的条件
  • “三线八角”模型
    • 如图，直线AB、CD与直线EF相 交构成八个角，简称“三线八角”
    • 重点
      • 两条直线AB、CD与同一条直线EF相交
      • “三线八角”中的每个角都是由截线与一条被截线相交而成
  • 同位角、内错角、同旁内角
    • 同位角
      • 像∠EGB与∠EHD，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，像这样的一对角叫做同位角
      • 例子
        • ∠EGB与∠EHD，∠FGB与∠FHD，∠EGA与∠EHC，∠FGA与FHC
      • 位置特征及结构特征
        • 位置特征
          • 在两条被截直线同方， 在截线同侧
        • 结构特征
          • “F”形
    • 内错角
      • 像∠AGF与∠EHD，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角
      • 例子
        • ∠AGF与∠EHD，∠BGF与∠EHC
      • 位置特征及结构特征
        • 位置特征
          • 在两条被截直线之间，在截线两侧
        • 结构特征
          • “Z”形
    • 同旁内角
      • 像∠FGB与∠EHD，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角
      • 例子
        • ∠FGB与∠EHD，∠AGF与∠CHE
      • 位置特征及结构特征
        • 位置特征
          • 在两条被截直线之内，在截线同侧
        • 结构特征
          • “U”形
  • 平行线的判定
    • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
      • 同位角相等，两直线平行
      • ∵∠EGB＝∠EHD ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
    • 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
      • 内错角相等，两直线平行
      • ∵∠AGF＝∠EHD ∴A
    • 两条直线被第三条直线所截，如果同旁旁内角互补，那么这两条线平行
      • 同旁内角互补，两直线平行
      • ∵∠BGF+∠EHD＝180° ∴AB∥CD
    • 平分线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形
• 探究平行线的性质
  • 两条平行直线被第三条 直线所截，同位角相等。
    • 两直线平行，同位角相等
    • ∵AB∥CD ∴∠EGB＝∠EHD（两直线平行，同位角相等）
  • 两条平行直线被第三条 直线所截，内错角相等
    • 两直线平行，内错角相等
    • ∵AB∥CD ∴∠AGH＝∠EHD（两直线平行，内错角相等）
  • 两条平行直线被第三条 直线所截，同旁内角互补
    • 两直线平行，同旁内角互补
    • ∵AB∥CD ∴∠BGF+∠EHD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
  • 线的位置关系决定角的数量关系
• 图形的平移
  • 平移的定义
    • 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移
    • 平移不改变图形的形状，大小
  • 平移的要素
    • 平移的方向
    • 平移的距离
    • 确定一个平移的方向和距离，只需 确定其中一个点平移的方向和距离
  • 平移的性质
    • 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向 移动相同的距离，平移不改变线段，角的大小
    • 平移后，对应线段平行（或共线）且相等
    • 平移后，对应角相等
    • 平移后，对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等
    • “连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离
    • 要注意“连接各组对应点的 线段”与“对应相等”的区别
      • 前者是通过连接平移 前后的对应点得到的
      • 后者是原来的图形与平移 后的的图形上本身存在的
  • 平移作图
    • 平移作图
      • 就是作出一个图形沿着一定的 方向和距离平移后的的图形
    • 基本步骤
      • 定
        • 确定平移的方向和距离
      • 找
        • 找出表示图形的关键点
      • 移
        • 过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点
      • 连
        • 按原图形顺次连接对应点
• 认识三角形
  • 定义
    • 三角形是由3条不在同一条直线上 的线段，首尾依次相连组成的图形
    • 基本元素
      • 三角形的边
        • 即组成三角形的线段
      • 三角形的角
        • 即相邻两边所组成的角叫做三 角形的内角，简称三角形的角
      • 三角形的顶点
        • 即相邻两边的公共端点
    • 三个要求
      • 不在同一条直线上
      • 三条线段
      • 首尾顺次相接
    • 表示
      • 三角形
        • 三角形用符号“△”表示
          • 单独的△没有意义
        • 顶点是A，B，C的 三角形记作“△ABC”
          • 读作“三角形ABC”
      • 边
        • △ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示
        • 也可以用小写字 母a、b、c来表示
          • 边BC用a表示，边AC用b表示，边AB用c表示
  • 分类
    • 按边的关系
      • 三边都不相等的三角形
      • 等腰三角形
        • 底边和腰不相等的等腰三角形
        • 等边三角形
          • 三条边都相等的三角形
    • 按内角分类
      • 直角三角形
        • 有一个角是90°的三角形
      • 锐角三角形
        • 三个角都是锐角的三角形
      • 钝角三角形
        • 有一个角是钝角的三角形
  • 三边关系
    • 定理
      • 三角形任意两边之和大于第三边
    • 推论
      • 三角形任意两边之差小于第三边
    • 理论依据
      • 两点之间线段最短
    • 应用
      • 判断三条线段是否组成三角形
        • 若两条较短的线段长之和大于最长线段 的长，则这三条线段可以组成三角形
        • 反之，则不能组成三角形
      • 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围
    • 证明线段之间的不等关系
  • 三角形的高、中线与角平分线
    • 高
      • 从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高
      • • AD是△ABC的高
          • ∠ADB＝∠ADC＝90°
          • AD⊥BC于D
        • AD是△ABC的BC边上的高
      • 三角形的高是线段
      • 垂心
        • 三角形有三个高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心
      • 三条高
        • 锐角三角形
          • 三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部
        • 直角三角形
          • 其中两条恰好是直角边，三条高的交点是直角的顶点
        • 钝角三角形
          • 有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部
    • 中线
      • 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线
      • • AD是△ABC的中线
        • AD是△ABC的BC边上的中线
        • BD＝CD＝½BC
      • 三角形的中线是线段
      • 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部
      • 中线把三角形分成面积相等的两个三角形
    • 角平分线
      • 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
      • • AD是△ABC的角平分线
          • ∠BAD＝∠DAC＝½∠BAC
          • ∠BAC=2∠BAD=2∠DAC
        • ∠BAD=∠CAD且点D在BC上
      • 三角形的角平分线是线段
      • 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部
      • 可以用量角器或圆规画三角形的角平分线
  • 三角形的稳定性
    • 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性
    • 三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不会改变
    • 四边形没有稳定性。
      • 四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变
• 多边形的内角和与外角和
  • 三角形的角
    • 三角形的内角和
      • 三角形三个内角的和等于180°
      • 直角三角形的两个锐角互余
    • 外角
      • 定义
        • 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，如图，∠ACD是△ABC的一个外角
      • 顶点在三角形的一个定点上
      • 一条边是三角形的一边
      • 另一条边是三角形某条边的延长线
      • 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角
      • 性质
        • 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
        • 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角
      • 三角形的外角和
        • 三角形的外角和等于360°
  • 多边形的内角和与外角和
    • 多边形定义
      • 在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形
      • 三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形
      • 其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形
        • 同时满足“各边相等”“各角相等”两个条件，二者缺一不可
    • 相关概念
      • 边
        • 组成多边形的各条线段叫做多边形的边
      • 顶点
        • 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点
      • 内角
        • 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角
      • 外角
        • 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角
      • 对角线
        • 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
        • 对角线条数公式
          • n（n-3）/2
    • 多边形分类
      • 画出多边形的任何一边所在的直线
        • 如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形
        • 如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形
    • 多边形内角和
      • n边形内角和公式
        • （n-2）×180°（n≥3）
      • 正多边形的每个内角都相等
        • (n-2）×180°/n
    • 多边形外角和
      • 多边形的外角和恒等于360°
      • 在一个多边形的每个顶点出各取一个外 角，这些外角的和叫做多边形的外角和
      • 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360°/n