无穷级数

无穷级数知识总结，包括敛散性判别、幂级数收敛域、幂级数求和、函数展开成幂级数等等。

无穷级数

• 敛散性判别
  • 正项级数
    • ①收敛的充要条件:部分和数列｛Sn｝有界
    • ②比较判别:两个正向级数，大收小收，小放大放
    • ③比较判别极限形式: Un, Vn皆正向级数，lim（n→∞）Un／Vn= A
      • A＝0 V收U收
      • A＝＋∞ V发U发
      • 0＜A＜∞ VU同敛散
    • ④比值判别（达朗贝尔）: lim（n→∞）Un＋1／Un＝ρ
      • ρ＜1 收
      • ρ＞1 发
      • ρ＝1 方法失效
    • ⑤根值判别（柯西判别）: lim（n→∞）Un开n次＝ρ
      • ρ＜1 收
      • ρ＞1 发
      • ρ＝1 方法失效
    • ⑥积分判别:Un＝ f（n）, 其中f（x）连续、非负、单减且x[a,＋∞）,则ΣUn（a到∞）与∫f（x）dx（a到∞）同敛散
  • 交错级数
    • 莱布尼茨判别
    • 形如:Σ（-1）的n-1次方Un（Un＞0）
    • 判别:①Un＞＝Un＋1 ❗ ②lim（n→∞）Un=0 ①②都符合→收敛
  • 任意项级数
    • 每一项加上绝对值写成Σ|Un|
    • Σ| Un|收，则ΣUn绝对收敛
    • ΣUn收，Σ| Un|发，则ΣUn条件收敛
• 幂级数收敛域
  • 幂级数
    • 一般形Σ（0-∞）an（x－x0）的n次
    • 标准形x0=0
  • 收敛域（定义域）
    • 具体型
    • 抽象型
• 幂级数求和
  • 运算法则
    • ①
    • ②
  • 7个展开式
• 函数展开成幂级数
  • 泰勒级数
  • 麦克劳林级数