三角形的五心

总结了一些常用三角形的五心的知识点，希望能帮到大家。在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

三角形的五心链式思维网（几何篇）

• 三角形的五心（常用推论）
  • 外心(O)
    • 1.外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等
  • 重心 (G)
    • 2.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
    • 3.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    • 4.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3
  • 垂心（H)
    • 5、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
    • 6、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
    • 7.推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R
  • 旁心
    • 8.每一个旁心到三边的距离相等。
    • 9. 一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比
  • 内心（I）(设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，R为外接圆半径，p为△ABC半周长)
    • • 1、r=S/p。
      • 2、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
      • 3、(欧拉定理)△ABC中，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr。
      • • 4.如图，有以下结论：
          • （1）IX:IY:IZ=1:1:1
          • （2）BD:DC=c:b;CE:EA=a:c;AF:FB=b:a
          • （3）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)
          • （4）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))
          • （5）△IBC,△ICA,△IAB面积比为a:b:c
• 欧拉线（三角形的外心、重心、九点圆圆心和垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。(且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点)。
• 九点圆：任意三角形三条高线的垂足、三边中点以及顶点与垂心的三条连线的中点，共九点都在半径为1/2R(三角形外接圆半径)的圆上，且圆心是外心与垂心所连线段的中点。