考研数学第三章：中值定理与一元微分学的应用

这是一篇关于考研数学第三章：中值定理与一元微分学的应用的思维导图，本章分为中值定理、泰勒公式、单调性与极值和弧微分等知识点，适合基础复习阶段使用。

中值定理与一元微分学的应用

• PartⅠ中值定理
  • （一）罗尔定理
    • 特征：闭区间连续，开局间可导，且两端相等。有时需配合零点定理和介值定理使用。
  • （二）拉格朗日中值定理
  • （三）柯西中值定理
    • 子主题
  • （四）泰勒公式
    • 条件：
    • 结论：
      • Pn(x)是n阶多项式
      • Rn(x)是余项
    • 常用麦克劳林展开式
      • 用于解决极限问题
• PartⅡ 单调性与极值
  • 一、定义
  • 二、求极值的步骤
    • 1、找出x定义域的范围。
    • 2、找出导数的怀疑点（驻点和不可导点）
    • 3、使用判别法判断极值点
      • （一）第一充分条件（什么类型都可以解决）：用用左右导数判断
      • （二）第二充分条件（只能判别驻点）：用二阶导数判断（二阶导数等于0不能用）
• PartⅢ 凹凸性、渐近线、弧微分和曲率
  • 一、凹凸性
    • （一）定义
    • （二）判别法
      • f''(x)>0，为凹函数
      • f''(x)<0，为凸函数
  • 二、渐近线（水平渐近线与斜渐近线不能共存）
    • 1、水平渐近线
      • 用极限判断，x趋于无穷
    • 2、铅直渐近线
      • 用极限判断，x趋于某个值
    • 3、斜渐近线
      • 用极限判断，x趋于无穷时y比x
  • 三、弧微分
    • 子主题
    • 子主题
  • 四、曲率及计算公式
• 单调性与极值
  • 题型一：极值点的判断
  • 题型二：函数零点或方程根问题
    • ①零点定理
    • ②罗尔定理法
      • 构建原函数
    • ③单调性
      • 求出极值做草图
  • 题型三：不等式证明
    • ①单调性（求导）
    • ②中值定理
• 中值定理
  • 题型一：证明
    • （一）若要证明一阶导数f'(ζ)等于零，需要先证明f(?)=f(?)。
    • （二）若要证明二阶导数f''(ζ)等于零，需要证明三个f(?)两两相等或者两个f'(?)相等。
  • 题型二：待证结论中只有一个中值号 ζ ，不含其他字母
    • ①：还原法（仅有ζ、导数差一阶、两项）
    • ②：分组法
    • ③：
  • 题型三：结论中含有ζ 、和字母a，b。
    • （一）：ζ与a、b可分离
      • a、b侧凑拉格朗日或柯西形式
    • （二）：ζ与a、b不可分离
      • ζ写成x，凑原函数的导数等于零的形式，再用中值定理。
  • 题型四：结论中含有连个或以上的中值：ζ、η
    • （一）：结论仅有f'(ζ)、f'(η)
      • 找三点
      • 两次拉格朗日
    • （二）：含有ζ、η的项复杂度不同
      • 用定理构造出复杂中值项，并保留
      • 对另一边的用拉格朗日或柯西来凑出。
  • 题型五：强化讲
  • 题型六：拉格朗日中值定理的两种惯性思维（可用于解决极限问题）
    • ①遇见f(a)-f(b)用拉格朗日
    • ②遇见三个值f(a)、f(b) 、f(c)或f'(a)、f'(b)、f'(c)时，用两次拉格朗日