平面向量 (1)

平面向量 概念 向量的减法 向量的数量积 向量的加法 ①定义：在平面中既有大小又有方向的量叫做平面向量 ②对比（数量）：只有大小没有方向 ③表示： 几何表示： ④特殊向量： 零向量和单位向量 平行向量和共线向量 代数表示：AB或a 零向量：长度为0的向量叫做零向量规定方向任意 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量在任何方向上都有单位向量 零向量和0区分：0=零向量的模单位向量与1的区分：单位向量的模=1 定义：向量的方向相同或相反的向量叫做平行向量（平行既共线）

平面向量

• 概念
  • ①定义：在平面中既有大小又有方向的量叫做平面向量
  • ②对比（数量）：只有大小没有方向
  • ③表示：
    • 几何表示：
    • 代数表示：AB或a
  • ④特殊向量：
    • 零向量和单位向量
      • 零向量：长度为0的向量叫做零向量规定方向任意
      • 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量在任何方向上都有单位向量
    • 平行向量和共线向量
      • 定义：向量的方向相同或相反的向量叫做平行向量（平行既共线）
      • 符号：a与b同向或反向→a∥b
      • 规定：0与任意向量都平行或共线
    • 相等向量和相反向量
      • 大小相等方向相同（完全相同）：a=b
      • 长度相等方向相反：a=－b
    • AB=BC→三点共线B为AC中点
      • AB∥BC B为公共点
        • A，B，C三点共线
• 向量的加法
  • 向量加法法则
    • 三角形定则（收尾相接）
    • 四边形法则（共起点）
  • 向量加法的特例（a∥b）：①同向：首尾连接方向一致 ②反向：数量相加减方向看谁的模大按谁的方向
  • 向量三角不等式：当反向是第一个=成立当同向时第二个=成立当不共找时为＜成立
  • 向量加法运算律：①交换律：a＋b=b＋c ②结合律：（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
• 向量的减法
  • 向量减法的法则：三角形法则（共起点）：OA－OB=BA（指向被减）
  • 向量加法的特例（a∥b） ：①同向：首尾连接方向一致 ②反向：数量相加减方向看谁的模大按谁的方向
• 向量的数乘运算
  • 定义：λ（实数）·（这里不能用×）a（向量）=λa（结果为向量）
  • 大小：
  • 几何意义：λa 当λ＞1 沿着a的方向扩大到λ倍 当0＜λ＜1 沿着a的方向缩小到λ倍 当λ＜－1 沿着a的反方向扩大到绝对值λ倍 当-1＜λ＜0 沿着a的反方向缩小到绝对值λ倍
  • 运算律：
  • 向量共线的判定和性质定理：
    • 
    • 若AB=λBC则AB与BC共线 A,B,C三点共线
• 向量的数量积
  • 定义：a·b=【a】·【b】cosθ（θ为a和b的夹角）（内积）
  • 结论：①非零向量a与b夹角为锐角时a·b＞0 ②a⊥b时a.b= 0 ③a与b夹角为钝角是a.b＜0
  • 投影及投影向量
  • 数量积的几何意义：①把a在b方向上的投影向量与b的积 ②b在a方向上的投影向量的积
  • 数量积的性质：
  • 向量积的运算律：
• 平面几何中的向量法
  • 基底法
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  • 坐标法
    • 
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• 数量积的坐标表示
  • 已知a=（x,y ） b=（m,n）a·b=xm＋yn
  • 
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  • 投影向量（a在b上的投影向量坐标表示）：①【a】cosθe ②【a】cosθ/【b】b ③ab/【b】【b】·b ④【a】cosθ=【ab】/【b】=【X1x2＋Y1Y2】/根号下X2²＋Y2² ⑤几何：a·b=λb·b=b²
• 平面向量共线的坐标表示
  • 共线定理：①a∥b→b=λa（λ≠0） ②AB∥AC→AB=λBC→OC=xOA＋yOB（x＋y=1） ③坐标表示a=（x,y）b=（m,n） a∥b→xn=ym
• 平面向量正交分解及坐标表示
  • 定义：①（i和j为单位向量）a=xi＋yj=（x,y）
  • ②当向量起点在坐标原点时向量的坐标就是终点的坐标
  • ③已知A（x,y） B（m,n）AB=（m－x,n－y）
  • ④a=b→x=m且y=n
  • ⑤运算法则
    • 加减法：已知a（x,y）b=（m,n）a＋b=（x＋m,y＋n）
    • 数乘运算：λa=（λx,λy）
  • 重心的坐标：G（X1＋X2＋X3/3,Y1+Y2＋Y3/3）
• 平面向量的基本定理
  • ：内容
  • ：补充
• 
• 如：a∥b，b∥c不能推出a∥b
• 零向量和0区分：0=零向量的模 单位向量与1的区分：单位向量的模=1