材料力学

土木工程学习的要点：在互相垂直的两平面上，剪应力总是大小相等、方向相反，且作用线垂直于两平面交线【共同指向或背离该线】。

材料力学

• 拉伸、压缩
  • 具体材料的拉压
    • 塑性材料
      • 低碳钢
        • 拉-压试验的应力-应变曲线
          • 弹性阶段
            • 弹性极限e
          • 屈服阶段
            • 屈服极限s
            • 名义屈服极限0.2
          • 强化阶段
            • 强度极限b
            • 冷作硬化
          • 局部变形阶段
            • 颈缩
        • 力学性能指标
          • 延伸率
          • 截面收缩率
          • 取屈服极限s
    • 脆性材料
      • 铸铁
        • 拉-压试验的应力-应变曲线
          • 没有明显的直线部分
          • 拉断前应变很小
          • 无屈服阶段、颈缩现象
        • 力学性能指标
          • 破坏口为斜断面
          • 取强度极限b
  • 轴向拉伸与压缩
    • 横截面
      • 正应力
        • ao=N/A
          • 1MPa=10^6Pa=1N/mm^2
    • 斜截面
      • 总应力
        • p=N/A
          • =ao*cosa
      • 正应力
        • =p*cosa
          • =ao*(cosa)^2
        • max=角度a=0
          • 横截面
        • min=a=90°
          • 纵截面
      • 剪应力
        • =p*sina
          • =ao/2*(sin2a)
        • 顺时针力矩为正
        • max=±45°
          • 斜截面
        • min
          • a=0
            • 横截面
          • a=90°
            • 纵截面
  • 强度条件
    • 许用应力
      • 材料正常工作允许的最大应力
      • =极限应力/安全系数
    • 条件
      • 最大工作条件不超过许用应力
        • 三类问题
          • 强度校核
          • 截面计算
          • 许可荷载计算
  • 变形
    • 横向伸长，轴向缩短
    • 虎克定律
      • 应力=弹性模量E*应变
        • 轴向线应变
        • 横向线应变
          • =L'/L
            • =横向应变/E
        • 泊松比μ
          • 材料比例极限内
            • |横向应变/轴向应变|
          • 弹性常数之一，无量纲
      • 杆件变形L=轴力N*原长度L/杆的抗压（拉）强度EA
    • 变形计算
  • 若横截面积A不变，则杆件的内力、应力、轴向变形均不变
• 剪切、挤压
  • 实用计算
    • 剪切
      • 名义剪应力
        • =Q/Aq
          • 剪切面
            • 构件将发生相对错动的面
        • 假定剪力沿剪切面均匀分布
      • 许用剪应力
        • 试验
          • 名义剪切极限应力/安全系数n
      • 剪切强度条件
    • 挤压
      • 名义挤压应力
        • =Pbs/Abs
          • 名义挤压面面积
            • 平面
              • 实际受力面积
            • 曲面
              • 投影面积
          • 挤压面
            • 两构件互相接触的面
        • 假定挤压力沿剪切面均匀分布
      • 许用挤压应力
        • 试验
          • 名义挤压极限应力/安全系数n
      • 挤压强度条件
  • 剪切虎克定律
    • 纯剪切
      • 单元体各个侧面上只有剪切应力而无正应力
    • 剪应力互等定理
      • 在互相垂直的两平面上，剪应力总是大小相等、方向相反，且作用线垂直于两平面交线【共同指向或背离该线】
    • 虎克定律
      • 剪切比例极限内，剪应力与剪应变成正比
        • 应力=G*应变
          • G——剪切弹性模量
          • G=E/2*（1+μ）
          • 对于各向同性的材料
            • 泊松比μ、弹性模量G、E
              • 只有两个独立常数
• 扭转
  • 受力特征
    • 杆的两端受到一对大小相等、方向相反的力偶矩沿与杆线轴线垂直的作用
  • 扭矩
    • 外力偶矩m=9.55P/n
      • p:传递功率
      • n：转速
    • 截面平面内的力偶矩T
    • 符号：右手，与截面外向法线方向一致为正
  • 变形
    • 扭转角φ
      • 计算
        • φ=TL/GIp
          • 抗扭刚度GIp
            • 抵抗扭转弹性变形的能力
      • 刚度条件
        • 最大单位长度扭转角不得超过许可值【θ】
          • θmax=（Tmax/GIp）*（180°/π）≤【θ】
  • 圆轴
    • 扭转切应力
      • 横截面
        • 剪应力
          • τ=TR/Ip
          • max=TR/Ip=T/Wp
            • 在横截面周边各点处
          • 适用
            • 线弹性范围τmax≤τp，小变形条件下的等截面实心/空心圆直杆
            • Ip极惯性矩
              • =πd^4/32
            • Wp抗扭截面系数=Ip/R
              • =πd^3/16
    • 圆轴扭转的强度条件
• 截面几何性质
  • 静矩
    • 以形心轴为中线
      • S=上部+下部
        • 若选择的轴为形心轴，则ΣS=0
  • 形心
    • • y轴过形心
        • zc=0，且Sy=0
      • z轴过形心
        • yc=0，且Sz=0
    • 主惯性轴/主轴
      • 图形中某对惯性积为0的正交坐标轴
        • 一般，其中一个轴为对称轴时，必满足
    • 形心主轴
      • 过形心的主轴
    • 形心主惯性矩
      • 对形心主轴的惯性矩
    • 形心主惯性平面
      • 杆件的轴线与横截面形心所组成的平面
  • 惯性矩
    • 对z轴
      • Iz=∫y^2dA=Aiz^2
        • i为惯性半径
    • 极惯性矩
      • Ip=∫ρ^2dA
        • ρ^2=y^2+z^2
        • Ip=Iz+Iy
    • 惯性积
      • Iyz=∫yzdA
    • 面积分布距离轴越远，I值越大
      • 形心轴的惯性矩最小
      • 主惯性轴的惯性矩为极值
        • max
        • min
  • 平行移轴公式
    • Iz=Izc+a^2A
      • 原惯性距+距离的平方与物体面积的乘积
• 弯曲
  • F\V\M的微分关系
    • 微分关系
      • dQ/dx=q
      • dM/dx=Q
      • (dM/dx)^2=q
    • 方向
      • 剪力
        • +
          • 使右侧相对左侧向下错动为正
            • 右下
            • 左上
        • 剪力图
          • 向上为正轴
      • 弯矩
        • +
          • 凹向上为正
        • 弯矩图
          • 向下为正轴
    • 几个概念
      • 纯弯曲
        • 只有弯矩作用，无剪力作用时的弯曲
      • 中性层
        • 杆件弯曲变形时，不伸长也不缩短的一层
        • 曲率
          • 1/ρ=M/EIz
            • ρ曲率半径
          • 曲率最大值发生在弯矩最大处
      • 中性轴
        • 线弹性范围内的杆件发生平面弯曲时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面
        • 中性层与横截面的交线
          • 横截面上正应力为0的各点连线
          • 剪应力最大
  • 强度条件
    • 正应力
      • σmax=Mymax/Iz
        • y_计算点与中性轴的距离
      • 梁的合理截面
        • 梁的强度通常由横截面正应力决定
        • 在截面A一定的情况下，抗弯截面系数Wz越大，承载力就越大——截面越合理
          • 就W/A而言
            • 工字形>矩形>圆形
        • 塑性材料
          • 对称中性轴的截面
          • [σt]=[σc]
        • 脆性材料
          • 不对称中性轴材料
          • [σt]≠[σc]
        • 目的
          • 使最大拉应力和最大压应力同时达到限制值
          • σtmax=[σt]
          • σcmax=[σc]
    • 切应力
      • 假定
        • 方向与截面的侧边平行
        • 沿截面宽度剪应力均匀分布
      • τ=QSz/bIz
        • 矩形截面
          • τ=3Q/2A
        • 圆形截面
          • τ=4Q/3A
        • 环形截面
          • τ=2Q/A
        • 最大剪应力发生在中性轴处
        • 工字形截面
          • τ=QSzmax/dIz
            • d为腹板厚度
  • 弯曲中心概念
    • 横向力下，梁分别在两个形心主惯性平面xy、xz内弯时，剪力Qz、Qy的交点即为截面的弯曲中心【剪切中心】
    • 当横向力不过弯曲中心时，梁会发生弯曲和扭转
    • 弯曲中心的位置
      • 影响因素
        • 只取决于截面形状和大小
        • 与材料、外力无关
      • 特点
        • 具有两个对称轴、反对称轴的平面，弯曲中心为形心
        • 有一个对称轴的截面，弯曲中心在对称轴上
        • 对于薄壁截面，若其中心线是由相交于一点的若干线段组成，则此交点就是弯曲中心
  • 梁的变形
    • 挠度v
      • 挠曲线
        • v=f(x)
        • 挠曲线近似微分方程
          • (dv/dx)^2=-M(x)/EIz
            • EIz——杆的抗弯刚度，轴z为中性轴
      • 梁截面形心在垂直于轴线方向的线位移
      • 向下为正
    • 转角θ
      • 横截面相对于原位置绕中性轴所转过的角度
      • θ=tanθ=dv/dx=v'
      • 顺时针为正
    • 梁变形的计算方法
      • 积分法
        • 挠曲线近似微分方程积分两次
          • 转角方程和挠度方程
        • 全梁的积分常数数目是分段数目的2倍
      • 叠加法
        • 叠加原理
          • 总的挠度或转角=各个荷载单独作用下同截面的挠度或转角的总和
        • 适用条件
          • 线弹性材料
          • 小变形
          • 几何线性结构
        • 特征
          • 适用于求固定截面的挠度/转角
• 应力状态
  • 平面应力状态分析
    • 点的应力状态
      • 三对互相垂直的主应力，按数值大小分为σ1≥σ2≥σ3
        • 3个都≠0
          • 三向应力状态
            • 斜截面上的应力
            • 最大剪应力
              • 作用面与σ1和σ3所在平面成45°，与σ2所在平面垂直
                • τ=（σ1-σ3）/2
            • 广义虎克定律线弹性范围内，应力与应变的关系
        • 2个≠0
          • 二向应力状态
            • 斜截面上的应力
              • 正应力
              • 剪应力
                • 最大、最小剪应力位于与主平面所在夹角45°的平面上
                  • 受扭圆轴的最大剪应力τ出现在圆轴表面，是纯剪切应力状态
                  • 其主应力σ1=τ出现在45°斜截面【主平面】上
            • 主应力
              • 一般只取σ1和σ3， 令σ2=0
                • 若最小值大于0，则令σ3=0
              • 应力1、3之间差了90°
                • 都要大于0
              • xy坐标系下，单元体的最大主应力指向
                • 第一象限，靠近x轴
        • 1个≠0
          • 单向应力状态
    • 主平面
      • 剪应力为0
    • 方法
      • 解析法
      • 应力圆法
  • 四个强度理论
    • 解释材料发生脆性断裂破坏原因
      • 第一强度理论
        • 最大拉应力理论
      • 第二强度理论
        • 最大伸长线应变理论
    • 解释塑性屈服破坏原因
      • 第三强度理论
        • 最大剪应力理论
      • 第四强度理论
        • 最大形状改变比能理论
• 组合变形
  • 斜弯曲
    • 横向荷载和形心主惯性平面不平行
    • 特点
      • 可看作两个相互垂直的平面弯曲的叠加
      • 挠曲线与荷载所在平面不平行
      • 危险点为单向应力状态，最大正应力为两个平面弯曲正应力的代数和
        • 有棱角的截面
          • 矩形
          • 工字形
          • 槽形
          • 危险点在凸角处
            • αmax=Mymax/Wy+Mzmax/Wz≤[α]
        • 无凸角的截面
          • 中性轴是一条过截面形心的斜线
          • 中性轴与z轴的夹角
            • tanα=IzMy/IyMz
          • αmax=Mymax*Za/Iy+Mzmax*Ya/Iz≤[α]
        • 圆轴截面/正多边形
          • 最大弯矩方向即为最大应力方向
          • αmax=Mmax/W≤[α]
  • 拉/压-弯组合
    • 危险点
      • 危险截面上下边缘
        • 为单向应力状态
      • 有棱角
        • 凸点
      • 无棱角
        • 先确定中性轴
          • 截距
            • y轴
              • ay=-iz^2/yp
            • z轴
              • az=-iy^2/yp
    • σt/cmax=N/A±My/Wy±Mz/Wz≤[σt/c]
    • 三角形应力可化成位于下部1/3处的集中应力
  • 应力状态表示
    • 只有正应力
    • 无剪应力
  • 弯-扭组合
    • 危险截面
      • 【最大弯矩/最大轴力】和【最大扭矩】同时作用的截面
    • 危险点
      • σmax（弯曲正应力/拉压应力）和τmax（扭转剪应力）同时作用的点
    • 强度检核
      • 第三强度理论
      • 第四强度理论
    • 应力状态
      • 既有正应力
      • 又有剪应力
• 压杆稳定
  • 细长压杆临界力——欧拉公式
    • 临界力Pcr=π^2EI/(μL)^2
    • 长度系数μ
      • 一端固定、一段自由=2
      • 两端铰支=1
      • 一端固定一端铰支=0.7
      • 两端固定=0.5
      • 自由度越高，μ值越大
  • 临界应力
    • σcr=Pcr/A=π^2EI/(μL)^2A=π^2Ei^2/(μL)^2=π^2E/(μL/i)^2=π^2E/λ^2
    • 柔度/长细比
      • λ=μL/i
      • 压杆分类
        • λ≥λp
          • 细长杆/大柔度杆
            • σcr=欧拉公式
        • λs<λ<λp
          • 中长杆/中柔度杆
            • σcr=a-bλ
        • λ≤λs
          • 短杆/小柔度杆
            • σcr=σs
  • 压杆的稳定校核
    • 安全系数法
      • P≤Pcr/[nst]
    • 折减系数法
      • σ=P/A≤[σst]=ρ[σ]
  • 提高压杆稳定的措施
    • 减小压杆长度l，或在中间设置支撑
    • 选择合理的截面
      • 尽可能将材料分布的离截面形心较远，增大惯性矩I
      • 尽可能使压杆在两个形心主惯性平面内有相等或相近的稳定性，λz≈λy
    • 选择合适的材料
    • 减小长度系数，加大压杆的固定端
• 记录
  • 主平面上剪应力=0
  • 中性轴上只有剪应力
• 外力
  • 内力
    • 应力
      • 强度条件
        • 强度校核
        • 计算容许荷载
        • 截面设计
    • 变形
      • 刚度条件
        • 刚度校核
        • 计算容许荷载
        • 截面设计
    • 临界荷载
      • 稳定条件
        • 稳定校核
        • 计算容许荷载
        • 截面设计