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材料力学
拉伸、压缩
具体材料的拉压
塑性材料
低碳钢
拉-压试验的应力-应变曲线
弹性阶段
弹性极限e
屈服阶段
屈服极限s
名义屈服极限0.2
强化阶段
强度极限b
冷作硬化
局部变形阶段
颈缩
力学性能指标
延伸率
截面收缩率
取屈服极限s
脆性材料
铸铁
拉-压试验的应力-应变曲线
没有明显的直线部分
拉断前应变很小
无屈服阶段、颈缩现象
力学性能指标
破坏口为斜断面
取强度极限b
轴向拉伸与压缩
横截面
正应力
ao=N/A
1MPa=10^6Pa=1N/mm^2
斜截面
总应力
p=N/A
=ao*cosa
正应力
=p*cosa
=ao*(cosa)^2
max=角度a=0
横截面
min=a=90°
纵截面
剪应力
=p*sina
=ao/2*(sin2a)
顺时针力矩为正
max=±45°
斜截面
min
a=0
横截面
a=90°
纵截面
强度条件
许用应力
材料正常工作允许的最大应力
=极限应力/安全系数
条件
最大工作条件不超过许用应力
三类问题
强度校核
截面计算
许可荷载计算
变形
横向伸长，轴向缩短
虎克定律
应力=弹性模量E*应变
轴向线应变
横向线应变
=L'/L
=横向应变/E
泊松比μ
材料比例极限内
|横向应变/轴向应变|
弹性常数之一，无量纲
杆件变形L=轴力N*原长度L/杆的抗压（拉）强度EA
变形计算
若横截面积A不变，则杆件的内力、应力、轴向变形均不变
剪切、挤压
实用计算
剪切
名义剪应力
=Q/Aq
剪切面
构件将发生相对错动的面
假定剪力沿剪切面均匀分布
许用剪应力
试验
名义剪切极限应力/安全系数n
剪切强度条件
挤压
名义挤压应力
=Pbs/Abs
名义挤压面面积
平面
实际受力面积
曲面
投影面积
挤压面
两构件互相接触的面
假定挤压力沿剪切面均匀分布
许用挤压应力
试验
名义挤压极限应力/安全系数n
挤压强度条件
剪切虎克定律
纯剪切
单元体各个侧面上只有剪切应力而无正应力
剪应力互等定理
在互相垂直的两平面上，剪应力总是大小相等、方向相反，且作用线垂直于两平面交线【共同指向或背离该线】
虎克定律
剪切比例极限内，剪应力与剪应变成正比
应力=G*应变
G——剪切弹性模量
G=E/2*（1+μ）
对于各向同性的材料
泊松比μ、弹性模量G、E
只有两个独立常数
扭转
受力特征
杆的两端受到一对大小相等、方向相反的力偶矩沿与杆线轴线垂直的作用
扭矩
外力偶矩m=9.55P/n
p:传递功率
n：转速
截面平面内的力偶矩T
符号：右手，与截面外向法线方向一致为正
变形
扭转角φ
计算
φ=TL/GIp
抗扭刚度GIp
抵抗扭转弹性变形的能力
刚度条件
最大单位长度扭转角不得超过许可值【θ】
θmax=（Tmax/GIp）*（180°/π）≤【θ】
圆轴
扭转切应力
横截面
剪应力
τ=TR/Ip
max=TR/Ip=T/Wp
在横截面周边各点处
适用
线弹性范围τmax≤τp，小变形条件下的等截面实心/空心圆直杆
Ip极惯性矩
=πd^4/32
Wp抗扭截面系数=Ip/R
=πd^3/16
圆轴扭转的强度条件
截面几何性质
静矩
以形心轴为中线
S=上部+下部
若选择的轴为形心轴，则ΣS=0
形心
y轴过形心
zc=0，且Sy=0
z轴过形心
yc=0，且Sz=0
主惯性轴/主轴
图形中某对惯性积为0的正交坐标轴
一般，其中一个轴为对称轴时，必满足
形心主轴
过形心的主轴
形心主惯性矩
对形心主轴的惯性矩
形心主惯性平面
杆件的轴线与横截面形心所组成的平面
惯性矩
对z轴
Iz=∫y^2dA=Aiz^2
i为惯性半径
极惯性矩
Ip=∫ρ^2dA
ρ^2=y^2+z^2
Ip=Iz+Iy
惯性积
Iyz=∫yzdA
面积分布距离轴越远，I值越大
形心轴的惯性矩最小
主惯性轴的惯性矩为极值
max
min
平行移轴公式
Iz=Izc+a^2A
原惯性距+距离的平方与物体面积的乘积
弯曲
F\V\M的微分关系
微分关系
dQ/dx=q
dM/dx=Q
(dM/dx)^2=q
方向
剪力
+
使右侧相对左侧向下错动为正
右下
左上
剪力图
向上为正轴
弯矩
+
凹向上为正
弯矩图
向下为正轴
几个概念
纯弯曲
只有弯矩作用，无剪力作用时的弯曲
中性层
杆件弯曲变形时，不伸长也不缩短的一层
曲率
1/ρ=M/EIz
ρ曲率半径
曲率最大值发生在弯矩最大处
中性轴
线弹性范围内的杆件发生平面弯曲时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面
中性层与横截面的交线
横截面上正应力为0的各点连线
剪应力最大
强度条件
正应力
σmax=Mymax/Iz
y_计算点与中性轴的距离
梁的合理截面
梁的强度通常由横截面正应力决定
在截面A一定的情况下，抗弯截面系数Wz越大，承载力就越大——截面越合理
就W/A而言
工字形>矩形>圆形
塑性材料
对称中性轴的截面
[σt]=[σc]
脆性材料
不对称中性轴材料
[σt]≠[σc]
目的
使最大拉应力和最大压应力同时达到限制值
σtmax=[σt]
σcmax=[σc]
切应力
假定
方向与截面的侧边平行
沿截面宽度剪应力均匀分布
τ=QSz/bIz
矩形截面
τ=3Q/2A
圆形截面
τ=4Q/3A
环形截面
τ=2Q/A
最大剪应力发生在中性轴处
工字形截面
τ=QSzmax/dIz
d为腹板厚度
弯曲中心概念
横向力下，梁分别在两个形心主惯性平面xy、xz内弯时，剪力Qz、Qy的交点即为截面的弯曲中心【剪切中心】
当横向力不过弯曲中心时，梁会发生弯曲和扭转
弯曲中心的位置
影响因素
只取决于截面形状和大小
与材料、外力无关
特点
具有两个对称轴、反对称轴的平面，弯曲中心为形心
有一个对称轴的截面，弯曲中心在对称轴上
对于薄壁截面，若其中心线是由相交于一点的若干线段组成，则此交点就是弯曲中心
梁的变形
挠度v
挠曲线
v=f(x)
挠曲线近似微分方程
(dv/dx)^2=-M(x)/EIz
EIz——杆的抗弯刚度，轴z为中性轴
梁截面形心在垂直于轴线方向的线位移
向下为正
转角θ
横截面相对于原位置绕中性轴所转过的角度
θ=tanθ=dv/dx=v'
顺时针为正
梁变形的计算方法
积分法
挠曲线近似微分方程积分两次
转角方程和挠度方程
全梁的积分常数数目是分段数目的2倍
叠加法
叠加原理
总的挠度或转角=各个荷载单独作用下同截面的挠度或转角的总和
适用条件
线弹性材料
小变形
几何线性结构
特征
适用于求固定截面的挠度/转角
应力状态
平面应力状态分析
点的应力状态
三对互相垂直的主应力，按数值大小分为σ1≥σ2≥σ3
3个都≠0
三向应力状态
斜截面上的应力
最大剪应力
作用面与σ1和σ3所在平面成45°，与σ2所在平面垂直
τ=（σ1-σ3）/2
广义虎克定律线弹性范围内，应力与应变的关系
2个≠0
二向应力状态
斜截面上的应力
正应力
剪应力
最大、最小剪应力位于与主平面所在夹角45°的平面上
受扭圆轴的最大剪应力τ出现在圆轴表面，是纯剪切应力状态
其主应力σ1=τ出现在45°斜截面【主平面】上
主应力
一般只取σ1和σ3， 令σ2=0
若最小值大于0，则令σ3=0
应力1、3之间差了90°
都要大于0
xy坐标系下，单元体的最大主应力指向
第一象限，靠近x轴
1个≠0
单向应力状态
主平面
剪应力为0
方法
解析法
应力圆法
四个强度理论
解释材料发生脆性断裂破坏原因
第一强度理论
最大拉应力理论
第二强度理论
最大伸长线应变理论
解释塑性屈服破坏原因
第三强度理论
最大剪应力理论
第四强度理论
最大形状改变比能理论
组合变形
斜弯曲
横向荷载和形心主惯性平面不平行
特点
可看作两个相互垂直的平面弯曲的叠加
挠曲线与荷载所在平面不平行
危险点为单向应力状态，最大正应力为两个平面弯曲正应力的代数和
有棱角的截面
矩形
工字形
槽形
危险点在凸角处
αmax=Mymax/Wy+Mzmax/Wz≤[α]
无凸角的截面
中性轴是一条过截面形心的斜线
中性轴与z轴的夹角
tanα=IzMy/IyMz
αmax=Mymax*Za/Iy+Mzmax*Ya/Iz≤[α]
圆轴截面/正多边形
最大弯矩方向即为最大应力方向
αmax=Mmax/W≤[α]
拉/压-弯组合
危险点
危险截面上下边缘
为单向应力状态
有棱角
凸点
无棱角
先确定中性轴
截距
y轴
ay=-iz^2/yp
z轴
az=-iy^2/yp
σt/cmax=N/A±My/Wy±Mz/Wz≤[σt/c]
三角形应力可化成位于下部1/3处的集中应力
应力状态表示
只有正应力
无剪应力
弯-扭组合
危险截面
【最大弯矩/最大轴力】和【最大扭矩】同时作用的截面
危险点
σmax（弯曲正应力/拉压应力）和τmax（扭转剪应力）同时作用的点
强度检核
第三强度理论
第四强度理论
应力状态
既有正应力
又有剪应力
压杆稳定
细长压杆临界力——欧拉公式
临界力Pcr=π^2EI/(μL)^2
长度系数μ
一端固定、一段自由=2
两端铰支=1
一端固定一端铰支=0.7
两端固定=0.5
自由度越高，μ值越大
临界应力
σcr=Pcr/A=π^2EI/(μL)^2A=π^2Ei^2/(μL)^2=π^2E/(μL/i)^2=π^2E/λ^2
柔度/长细比
λ=μL/i
压杆分类
λ≥λp
细长杆/大柔度杆
σcr=欧拉公式
λs<λ<λp
中长杆/中柔度杆
σcr=a-bλ
λ≤λs
短杆/小柔度杆
σcr=σs
压杆的稳定校核
安全系数法
P≤Pcr/[nst]
折减系数法
σ=P/A≤[σst]=ρ[σ]
提高压杆稳定的措施
减小压杆长度l，或在中间设置支撑
选择合理的截面
尽可能将材料分布的离截面形心较远，增大惯性矩I
尽可能使压杆在两个形心主惯性平面内有相等或相近的稳定性，λz≈λy
选择合适的材料
减小长度系数，加大压杆的固定端
记录
主平面上剪应力=0
中性轴上只有剪应力
外力
内力
应力
强度条件
强度校核
计算容许荷载
截面设计
变形
刚度条件
刚度校核
计算容许荷载
截面设计
临界荷载
稳定条件
稳定校核
计算容许荷载
截面设计