材料力学

土木工程学习的要点：在互相垂直的两平面上，剪应力总是大小相等、方向相反，且作用线垂直于两平面交线【共同指向或背离该线】。

材料力学

拉伸、压缩

具体材料的拉压

塑性材料

低碳钢

拉-压试验的应力-应变曲线

弹性阶段

弹性极限e

屈服阶段

屈服极限s

名义屈服极限0.2

强化阶段

强度极限b

冷作硬化

局部变形阶段

颈缩

力学性能指标

延伸率

截面收缩率

取屈服极限s

脆性材料

铸铁

拉-压试验的应力-应变曲线

没有明显的直线部分

拉断前应变很小

无屈服阶段、颈缩现象

力学性能指标

破坏口为斜断面

取强度极限b

轴向拉伸与压缩

横截面

正应力

ao=N/A

1MPa=10^6Pa=1N/mm^2

斜截面

总应力

p=N/A

=ao*cosa

正应力

=p*cosa

=ao*(cosa)^2

max=角度a=0

横截面

min=a=90°

纵截面

剪应力

=p*sina

=ao/2*(sin2a)

顺时针力矩为正

max=±45°

斜截面

min

a=0

横截面

a=90°

纵截面

强度条件

许用应力

材料正常工作允许的最大应力

=极限应力/安全系数

条件

最大工作条件不超过许用应力

三类问题

强度校核

截面计算

许可荷载计算

变形

横向伸长，轴向缩短

虎克定律

应力=弹性模量E*应变

轴向线应变

横向线应变

=L'/L

=横向应变/E

泊松比μ

材料比例极限内

|横向应变/轴向应变|

弹性常数之一，无量纲

杆件变形L=轴力N*原长度L/杆的抗压（拉）强度EA

变形计算

若横截面积A不变，则杆件的内力、应力、轴向变形均不变

剪切、挤压

实用计算

剪切

名义剪应力

=Q/Aq

剪切面

构件将发生相对错动的面

假定剪力沿剪切面均匀分布

许用剪应力

试验

名义剪切极限应力/安全系数n

剪切强度条件

挤压

名义挤压应力

=Pbs/Abs

名义挤压面面积

平面

实际受力面积

曲面

投影面积

挤压面

两构件互相接触的面

假定挤压力沿剪切面均匀分布

许用挤压应力

试验

名义挤压极限应力/安全系数n

挤压强度条件

剪切虎克定律

纯剪切

单元体各个侧面上只有剪切应力而无正应力

剪应力互等定理

在互相垂直的两平面上，剪应力总是大小相等、方向相反，且作用线垂直于两平面交线【共同指向或背离该线】

虎克定律

剪切比例极限内，剪应力与剪应变成正比

应力=G*应变

G——剪切弹性模量

G=E/2*（1+μ）

对于各向同性的材料

泊松比μ、弹性模量G、E

只有两个独立常数

扭转

受力特征

杆的两端受到一对大小相等、方向相反的力偶矩沿与杆线轴线垂直的作用

扭矩

外力偶矩m=9.55P/n

p:传递功率

n：转速

截面平面内的力偶矩T

符号：右手，与截面外向法线方向一致为正

变形

扭转角φ

计算

φ=TL/GIp

抗扭刚度GIp

抵抗扭转弹性变形的能力

刚度条件

最大单位长度扭转角不得超过许可值【θ】

θmax=（Tmax/GIp）*（180°/π）≤【θ】

圆轴

扭转切应力

横截面

剪应力

τ=TR/Ip

max=TR/Ip=T/Wp

在横截面周边各点处

适用

线弹性范围τmax≤τp，小变形条件下的等截面实心/空心圆直杆

Ip极惯性矩

=πd^4/32

Wp抗扭截面系数=Ip/R

=πd^3/16

圆轴扭转的强度条件

截面几何性质

静矩

以形心轴为中线

S=上部+下部

若选择的轴为形心轴，则ΣS=0

形心

y轴过形心

zc=0，且Sy=0

z轴过形心

yc=0，且Sz=0

主惯性轴/主轴

图形中某对惯性积为0的正交坐标轴

一般，其中一个轴为对称轴时，必满足

形心主轴

过形心的主轴

形心主惯性矩

对形心主轴的惯性矩

形心主惯性平面

杆件的轴线与横截面形心所组成的平面

惯性矩

对z轴

Iz=∫y^2dA=Aiz^2

i为惯性半径

极惯性矩

Ip=∫ρ^2dA

ρ^2=y^2+z^2

Ip=Iz+Iy

惯性积

Iyz=∫yzdA

面积分布距离轴越远，I值越大

形心轴的惯性矩最小

主惯性轴的惯性矩为极值

max

min

平行移轴公式

Iz=Izc+a^2A

原惯性距+距离的平方与物体面积的乘积

弯曲

F\V\M的微分关系

微分关系

dQ/dx=q

dM/dx=Q

(dM/dx)^2=q

方向

剪力

+

使右侧相对左侧向下错动为正

右下

左上

剪力图

向上为正轴

弯矩

+

凹向上为正

弯矩图

向下为正轴

几个概念

纯弯曲

只有弯矩作用，无剪力作用时的弯曲

中性层

杆件弯曲变形时，不伸长也不缩短的一层

曲率

1/ρ=M/EIz

ρ曲率半径

曲率最大值发生在弯矩最大处

中性轴

线弹性范围内的杆件发生平面弯曲时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面

中性层与横截面的交线

横截面上正应力为0的各点连线

剪应力最大

强度条件

正应力

σmax=Mymax/Iz

y_计算点与中性轴的距离

梁的合理截面

梁的强度通常由横截面正应力决定

在截面A一定的情况下，抗弯截面系数Wz越大，承载力就越大——截面越合理

就W/A而言

工字形>矩形>圆形

塑性材料

对称中性轴的截面

[σt]=[σc]

脆性材料

不对称中性轴材料

[σt]≠[σc]

目的

使最大拉应力和最大压应力同时达到限制值

σtmax=[σt]

σcmax=[σc]

切应力

假定

方向与截面的侧边平行

沿截面宽度剪应力均匀分布

τ=QSz/bIz

矩形截面

τ=3Q/2A

圆形截面

τ=4Q/3A

环形截面

τ=2Q/A

最大剪应力发生在中性轴处

工字形截面

τ=QSzmax/dIz

d为腹板厚度

弯曲中心概念

横向力下，梁分别在两个形心主惯性平面xy、xz内弯时，剪力Qz、Qy的交点即为截面的弯曲中心【剪切中心】

当横向力不过弯曲中心时，梁会发生弯曲和扭转

弯曲中心的位置

影响因素

只取决于截面形状和大小

与材料、外力无关

特点

具有两个对称轴、反对称轴的平面，弯曲中心为形心

有一个对称轴的截面，弯曲中心在对称轴上

对于薄壁截面，若其中心线是由相交于一点的若干线段组成，则此交点就是弯曲中心

梁的变形

挠度v

挠曲线

v=f(x)

挠曲线近似微分方程

(dv/dx)^2=-M(x)/EIz

EIz——杆的抗弯刚度，轴z为中性轴

梁截面形心在垂直于轴线方向的线位移

向下为正

转角θ

横截面相对于原位置绕中性轴所转过的角度

θ=tanθ=dv/dx=v'

顺时针为正

梁变形的计算方法

积分法

挠曲线近似微分方程积分两次

转角方程和挠度方程

全梁的积分常数数目是分段数目的2倍

叠加法

叠加原理

总的挠度或转角=各个荷载单独作用下同截面的挠度或转角的总和

适用条件

线弹性材料

小变形

几何线性结构

特征

适用于求固定截面的挠度/转角

应力状态

平面应力状态分析

点的应力状态

三对互相垂直的主应力，按数值大小分为σ1≥σ2≥σ3

3个都≠0

三向应力状态

斜截面上的应力

最大剪应力

作用面与σ1和σ3所在平面成45°，与σ2所在平面垂直

τ=（σ1-σ3）/2

广义虎克定律线弹性范围内，应力与应变的关系

2个≠0

二向应力状态

斜截面上的应力

正应力

剪应力

最大、最小剪应力位于与主平面所在夹角45°的平面上

受扭圆轴的最大剪应力τ出现在圆轴表面，是纯剪切应力状态

其主应力σ1=τ出现在45°斜截面【主平面】上

主应力

一般只取σ1和σ3， 令σ2=0

若最小值大于0，则令σ3=0

应力1、3之间差了90°

都要大于0

xy坐标系下，单元体的最大主应力指向

第一象限，靠近x轴

1个≠0

单向应力状态

主平面

剪应力为0

方法

解析法

应力圆法

四个强度理论

解释材料发生脆性断裂破坏原因

第一强度理论

最大拉应力理论

第二强度理论

最大伸长线应变理论

解释塑性屈服破坏原因

第三强度理论

最大剪应力理论

第四强度理论

最大形状改变比能理论

组合变形

斜弯曲

横向荷载和形心主惯性平面不平行

特点

可看作两个相互垂直的平面弯曲的叠加

挠曲线与荷载所在平面不平行

危险点为单向应力状态，最大正应力为两个平面弯曲正应力的代数和

有棱角的截面

矩形

工字形

槽形

危险点在凸角处

αmax=Mymax/Wy+Mzmax/Wz≤[α]

无凸角的截面

中性轴是一条过截面形心的斜线

中性轴与z轴的夹角

tanα=IzMy/IyMz

αmax=Mymax*Za/Iy+Mzmax*Ya/Iz≤[α]

圆轴截面/正多边形

最大弯矩方向即为最大应力方向

αmax=Mmax/W≤[α]

拉/压-弯组合

危险点

危险截面上下边缘

为单向应力状态

有棱角

凸点

无棱角

先确定中性轴

截距

y轴

ay=-iz^2/yp

z轴

az=-iy^2/yp

σt/cmax=N/A±My/Wy±Mz/Wz≤[σt/c]

三角形应力可化成位于下部1/3处的集中应力

应力状态表示

只有正应力

无剪应力

弯-扭组合

危险截面

【最大弯矩/最大轴力】和【最大扭矩】同时作用的截面

危险点

σmax（弯曲正应力/拉压应力）和τmax（扭转剪应力）同时作用的点

强度检核

第三强度理论

第四强度理论

应力状态

既有正应力

又有剪应力

压杆稳定

细长压杆临界力——欧拉公式

临界力Pcr=π^2EI/(μL)^2

长度系数μ

一端固定、一段自由=2

两端铰支=1

一端固定一端铰支=0.7

两端固定=0.5

自由度越高，μ值越大

临界应力

σcr=Pcr/A=π^2EI/(μL)^2A=π^2Ei^2/(μL)^2=π^2E/(μL/i)^2=π^2E/λ^2

柔度/长细比

λ=μL/i

压杆分类

λ≥λp

细长杆/大柔度杆

σcr=欧拉公式

λs<λ<λp

中长杆/中柔度杆

σcr=a-bλ

λ≤λs

短杆/小柔度杆

σcr=σs

压杆的稳定校核

安全系数法

P≤Pcr/[nst]

折减系数法

σ=P/A≤[σst]=ρ[σ]

提高压杆稳定的措施

减小压杆长度l，或在中间设置支撑

选择合理的截面

尽可能将材料分布的离截面形心较远，增大惯性矩I

尽可能使压杆在两个形心主惯性平面内有相等或相近的稳定性，λz≈λy

选择合适的材料

减小长度系数，加大压杆的固定端

记录

主平面上剪应力=0

中性轴上只有剪应力

外力

内力

应力

强度条件

强度校核

计算容许荷载

截面设计

变形

刚度条件

刚度校核

计算容许荷载

截面设计

临界荷载

稳定条件

稳定校核

计算容许荷载

截面设计