线性代数思维导图

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数 （前四章看秩，后两章看特征）

• 行列式
  • 重点题型一 数字行列式的计算
    • 重要行列式（对角，三角形，范德蒙，拉普拉斯，分块，爪形等）
    • 展开定理（0较多）
    • 对角线法则（三阶以下且0比较多）
  • 重点题型二 代数余子式求和
    • 代数余子式定义（low）
    • 展开定理
      • 某行元素×自己行的代数余子式和为行列式的
      • 某行元素×另一行代数余子式的和为0
    • 伴随矩阵
  • 重点题型三 抽象行列式计算
    • 行列式性质（5条）
    • 行列式公式（7个）
• 矩阵
  • 重点题型一 求高次幂
    • 若r(A)＝1，A的n次方＝tr(A)的n-1次方乘A
    • 分解，A＝E+B，然后用二项式展开定理
    • 分块，多用于对角矩阵
    • 相似或相似对角化（多考大题，重点）
      • A的n次方＝P×对角矩阵的n次方×P逆
  • 重点题型二 逆的判定和计算
    • 定义
      • 判定A可逆
      • 求A的逆矩阵
      • AB＝BA交换律
        • B＝f(A)，A逆，A*
        • AB＝aA+bB
        • A方+aAB＝E
    • 判定
      • 定义
      • 充要条件（6个）
        • |A|≠0
        • A列满秩或行满秩
        • 向量组线性无关
        • AX＝0只有0解
        • AX＝b只有唯一解
        • 特征值不为0
    • 计算
      • 定义性质
      • 数字矩阵（A|E）做初等行变换
      • 用伴随矩阵 A逆＝A的行列式分之A星
      • 分块，多用于对角矩阵，注意副对角线计算
  • 重点题型三 秩的计算与证明
    • 秩的定义或性质（10条）
      • 定义
        • r(A)＝r，则A中有r阶子式不为0，任何r+1阶子式全为0
        • r(A)＜r，则A中每一个r阶子式全为0
        • r(A)≥r，则A中有r阶子式不为0
      • 性质
        • 1.若A是m×n矩阵，r(A)≤min｛m，n｝
        • 2.|r(A)-r(B)|≤r(A加减B)≤r(A)+r(B)
        • 3.r(AB)≤min{r(A)，r(B)}
        • 4.max｛r(A)，r(B)｝≤r(A|B)≤r(A)+r(B)
        • 5.r(A)＝r(kA).k≠0
        • 6.A乘可逆矩阵秩不变
        • 7.A是m×n矩阵，若r(A)＝n，r(AB)＝r(B)，若r(A)＝m，r(CA)＝r（C）（左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变）
        • 8.A转置秩不变，A×A转置秩不变
        • 9.A是m×n，B是n×s，若AB＝O，r(A)+r(B)≤n
        • 10.r(A/B)≤r(A)+r(B)(格式原因，AB上下排列)
    • 数字矩阵初等行变换
  • 重点题型四 伴随矩阵
    • 多考选择，把讲义那些公式记住，没啥好说的
    • 伴随的秩，背讲义
  • 重点题型五 初等变换与初等矩阵
    • 左乘行变换，右乘列变换
    • 矩阵等价(充要)
      • PAQ＝B，P.Q可逆
      • r(A)＝r(B)
• 向量
  • 重点题型一 线性表示的判定和计算
    • 判定（秩）
      • r(a1a2a3…an)＝r(a1a2a3…an，b)与可线性表示互为充要
      • r(a1a2a3…an)＜r(a1a2a3…an，b)与不可线性表示互为充要
      • 方程组x1a1+x2a2+…xnan＝b有解无解来判定
      • 若b可由a表示，r(a,b)＝r(a),因为可以把b换成a线性组合，然后做列变换消去
    • 计算
      • 初等行变换化成行阶梯形，看每一行第一个数讨论参数，化成行最简自由变量取k
    • 向量组等价
      • 定义：两向量组每个向量都可由另一个向量组线性表示
      • 充要条件：三秩相等，即r(A)＝r(B)＝r(AB)
  • 重点题型二 线性相关与线性无关的判定
    • 定义，记得区分任意还是存在，具体内容看讲义
      • 恒等变形
        • 乘
          • 变短
          • 加减
        • 重组
    • 秩
      • r(a1a2a3…an)＝n，无关
      • r(a1a2a3…an)＜n，相关
    • 反证法判定(2020年考过，得有这个想法)
    • 性质
      • 线性相关充要条件|A|＝0
      • n+1个n维向量线性相关
      • 部分相关→整体相关，逆否，整体无关→部分无关（短的相关长的也相关）
      • 低维无关→高维无关，逆否，高维相关→低维相关（矮的无关高的无关）
      • 能线性表出必相关
      • 设向量组A(含s个向量)可由向量组B(含t)个向量线性表示.
        • 若s>t, 则A组线性相关
        • 若 A组线性无关, 则 s≤t
      • a由b表示，r(a)≤r(b)
      • r(A)＝A的行秩＝A的列秩
      • 重要性质：若n维a1a2a3无关，b1b2b3可由a1a2a3表出，设（b1b2b3）＝(a1a2a3)C，则b1b2b3线性无关充要条件|C|≠0
  • 重点题型三 极大线性无关组计算与证明
    • 定义：r个无关再添加一个相关，向量组秩为r，该线性无关向量组为极大无关组，具体看讲义
    • 初等行变换(体力活)
• 线性方程组
  • 重点题型一 解的判定（看秩）
    • A是m×n矩阵
      • AX＝0
        • r(A)＜n 有非零解
        • r(A)＝n 只有零解
      • AX＝b
        • r(A)≠r(A|b) 无解
        • r(A)＝r(A|b)
          • ＝n 唯一解
          • ＜n 无穷多解
  • 重点题型二 求齐次方程组基础解系与通解
    • 抽象矩阵
      • 1.先求r(A)
      • 2.利用解定义或性质凑n-r(A)个线性无关解
        • 定义
          • 若题干给一堆向量，令它与A相乘凑解，即Aa＝0
          • 若AB＝0，B的列向量为A的解（注意要几个线性无关解！！看秩）
        • 性质
          • 与微分方程类似，非齐次-非齐次＝齐次等（就硬凑）
    • 数字矩阵
      • 初等行变换（体力活）
  • 重点题型三 求非齐次线性方程组的通解
    • 与齐次方法一样，注意还要求一个特解
  • 重点题型四 解矩阵方程
    • 逆矩阵
      • 设A可逆，求AX＝B左乘A逆
    • 分块矩阵然后行变换（若A不可逆可用）
      • AX＝B化成增广矩阵解方程组，若求XA＝B可整体转置求出A转置，再转置回来
    • 待定系数法
      • 若求AX＝XB，那就设出来一个矩阵带进去算（体力活）
  • 重点题型五
    • 公共解的判定与计算（齐次非齐次都一样，实质都是求解的交集）
      • 联立AX＝0解方程组 BX＝0
      • 令A与B通解相等构建新方程组来解
      • 讲A的通解代入BX＝0中找限制条件
  • 重点题型六 同解的判定与计算（实质求相同的解）
    • 定义：你的解就是我的解，我的解就是你的解，就是同解
    • 秩
      • r(A)＝r(B)＝r(A/B)形式限制记得AB是上下排列
• 特征值和特征向量
  • 重点题型一 特征值和特征向量
    • 计算
      • 定义 Aa＝入a
      • 特征方程法
      • r(A)=1（tr(A)≠0矩阵A便可相似对角化）
      • 若矩阵为实对称，不同特征值特征向量互相正交
        • 知二求一 向量积
        • 知一求二 特值法
    • 性质
      • 特征值
        • 入1+入2+…+入n＝tr(A)
        • 入1入2…入n＝|A|
      • 特征向量
        • 不同特征值特征向量线性无关
        • k重特征值线性无关特征向量不超过k个
        • 不同特征值对应特征向量和不是A特征向量
  • 重点题型二 相似判定与计算
    • A相似与对角矩阵（相似对角化）
      • 充分条件
        • A是实对称矩阵
        • A有n个不同特征值
      • 充要条件
        • A有n个线性无关特征向量
        • Ak重特征值对应k个线性无关特征向量
      • 若r(A)＝1，tr(A)≠0便可相似对角化
    • A相似于B
      • 若可AB可相似对角化，找对角矩阵过渡
      • 若AB其中有无法判断相似对角化，抽象矩阵，建立AP=PB，解矩阵方程（2020.21题类似）
    • 性质
      • A与B各种皮肤相似
      • A~B是|入E-A|＝|入E-B|充分非必要条件
      • AB有相同的行列式，秩，特征方程，特征值，迹（行秩特程值迹）
  • 重点题型三 实对称矩阵
    • 实对称矩阵可正交相似对角化
    • 不同特征值特征向量正交
    • Q求法
      • 求特征值特征向量，然后施密特、向量积、特值法最后单位化
    • A求法
      • 可逆矩阵P A＝P^P逆
      • 正交矩阵Q A＝Q^Q转置
      • 实对称分解定理 Q＝（y1,y2…yn）A＝Q^Q转置＝入1y1y1转置+…入nynyn转置，特别的当r(A)＝1，A＝tr(A)y1y1转置（大题慎用，太猛了，侮辱老头）
• 二次型
  • 重点题型一 求二次型的标准形
    • Lagrange配方法 X转置AX经X＝CY得到Y转置C转置ACY C转置AC～^
    • 正交变换法 由正交矩阵Q经X＝QY
    • 合同变换法（建议学一下，非常好用！！）
  • 重点题型二 矩阵的合同
    • 定义 AB为n阶实对称，存在可逆矩阵C，C转置AC＝B，则A与B合同
    • 判定
      • 正负惯性指数
      • 正负特征值个数
    • 等价，相似，合同
      • 相似一定等价、合同，反之不对（想定义，秩，特征值）
  • 重点题型三 二次型正定与正定矩阵判定
    • 定义 任意X≠0，X转置AX＞0
    • 充要条件
      • 特征值全大于0
      • 正惯性指数p＝n
      • 顺序主子式全大于0
      • A与E合同（存在可逆矩阵D，C＝D转置D）
    • 必要条件
      • aii＞0（对角线元素全大于0）
      • |A|＞0