函数

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征

函数

• 概念
  • 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数与之相对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.
• 构成要素
  • 定义域
  • 值域
  • 对应关系
• 定义域
  • 定义
    • 使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合，函数内x的取值范围A叫做函数的定义域
  • 注意事项
    • 1、分式的分母不为零
    • 2、偶次根式的被开方数大于等于零
    • 3、零次幂的底数不为零
    • 4、实际问题对自变量的限制
    • 5、若函数有几个式子构成，求其定义域时要满足各式子都有意义
• 值域
  • 定义
    • 对于函数y=f（x），x∈A，与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
  • 求值域的方法
    • 1、图像法
    • 2、直接法
    • 3、配方法
    • 4、换元法
    • 5、分离常数法
    • 6、判别式法
    • 7、反解法
• 性质
  • 单调性
    • 增函数
      • 定义
        • 当X1<X2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。
    • 减函数
      • 定义
        • 当x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减，特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
    • 复合函数
      • 定义
        • 设y=f（t），t=g（x），则函数y=f（g（x））叫复合函数
      • 单调性
        • 同增异减，增减性由减函数的数量决定，若减函数的数量为奇，则该复合函数为减函数，反之为偶函数
  • 奇偶性
    • 奇函数
      • 定义
        • 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果"x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
    • 偶函数
      • 定义
        • 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果"x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
• 幂函数
  • 定义
    • 一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数
  • 特征
    • 1、xa的系数为1
    • 2、xa的底数是自变量
    • 3、xa的指数为常数
  • 图像
• 指数函数
  • 定义
    • 一般地，函数y=ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R
  • 特点
    • 1、ax的系数必须为1
    • 2、自变量出现在指数位置上
    • 3、底数a的范围必须是a>0，且a≠1，a不能是自变量
  • 单调性的应用
    • 比较大小
      • 1、底数相同、指数不同幂的大小，可利用函数单调性进行比较
      • 2、比较底数不同、指数相同幂的大小，可利用两个不同底的指数函数图像间的关系，结合单调性进行比较
      • 3、比较底数不同，指数也不同幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较
    • 指数型函数的单调性
      • 1、对于求形如f（x）=ma（2x）+max+q（m≠0，a>0,且a≠1）的函数的单调性，往往通过设t=ax，然后结合二次函数与指数函数的单调性进行判断。
      • 2、对于求形如f（x）=aj（x（a>0，且a≠1），往往通过换元设t=j（x），然后结合函数t=j（X）与指数函数y=at（a>0，且a≠1）的单调性进行判断。
  • 图像
• 对数函数
  • 对数定义
    • 一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lognN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
  • 基本性质
    • 1、负数和0没有对数
    • 2、1的对数等于0，即loga1=0（a>0，a≠1）
    • 3、底数的对数等于1，即logaa=1（a>0，a≠1）
    • 4、对数恒等式alogaN=N
  • 运算
    • 1、积的对数等于对数的和
    • 2、商的对数等于对数的差
    • 3、幂的乘方取对数，要把指数提到前，特别地，logaax=x
  • 对数函数定义
    • 一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）
  • 对数函数图像的性质
    • 定义域
      • （0，+∞）
    • 值域
      • R
    • 性质
      • 过定点（1，0），即x=1时，y=0
    • 图像
  • 对数式的大小比较
    • 1、若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较。
    • 2、若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论（分0<a<1,a>1）
    • 3、若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以画出对数函数的图像，在进行比较。
    • 4、若底数和真数都不相同，则常借助0，1等中间值进行比较
  • 对数单调性的比较
    • 解简单对数不等式
      • 1、形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行考虑
      • 2、形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b=logaab），再借助y=logax的单调性求解
    • 对数型函数的单调性
      • 研究y=f（logax）型复合函数的单调性，一般用复合法判定，即令tlogax，则只需研究t=logax及y=f（t）的单调性即可
      • 对于复合函数y=logaf（x）（a>0,且a≠1）的单调性，首先由f（x）>0确定函数的定义域然后判断t=f（x）在定义域上的单调性，最后结合底数a>1或0<a<1来确定y=logaf（x）的单调性，其核心是“同增异减”
• 三角函数
  • 概念：设a是一个任意角，a∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）
    • 把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina即y=sina
    • 图像
    • 把点P的横坐标x叫做ad额余弦函数，记作cosa，即x=cosa
    • 图像
    • 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做a的正切，记作tana，即y/x=tana，称为正切函数
    • 图像
  • 诱导公式
    • 公式一
      • 表达式：sin（a+2kΠ）=sina ， cos(a+2kΠ)=cosa ， tan（a+2kΠ）k∈Z
      • 应用：将角转化为0~2Π的角求值
    • 公式二
      • 表达式：sin(a+Π)=-sina ， cos（a+Π）=-cosa ， tan（a+Π）=tana
      • 应用：将0~2Π的角转化为0~Π的角求值
    • 公式三
      • 表达式：sin（-a）=-sina ， cos（-a）=cosa ， tan（-a）=-tana
      • 应用：将负角转化为正角求值
    • 公式四
      • 表达式：sin（Π-a）=sina， cos（Π-a）=-cosa， tan（Π-a）=-tana
      • 应用：将Π/2~Π的角转化为0~Π的角求值
    • 公式五
      • 表达式：sin（Π/2-a）=cosa cos（Π/2-a）=sina
      • 应用：实现正弦向余弦的相互转换
    • 公式六
      • sin（Π/2+a）=cosa cos（Π/2+a）=-sina
      • 应用：实现正弦向余弦的相互转换
• 对勾函数
  • 定义域
    • {x|x≠0}
  • 值域
    • （-∞，-2]∪[2，+∞）
  • 单调性
    • 在（-¥，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，0）和（0，1）上单调递增
  • 奇偶性
    • 在定义域上是奇函数
  • 图像