数系的五次扩充

在每一次数系扩充中，人们都遵守了如下几条原则： ①扩充的目的:在原数集中某种运算不封闭，在扩充后的新数集中该运算封闭; ②扩充后的集合要扩大:进行的每一次扩充都是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集,且使得原数集是新数集的一部分; ③保持原有的运算:进行扩充时,要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义,并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时,其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同; ④扩充的最小性与唯一性:要使扩充后的新数集是原数集满足以上的①、②、③原则的最小扩充，并且

数系的五次扩充

• 第一次扩充
  • 自然数集扩充为正有理数集
  • 引入正分数
  • 解决了度量不尽和保证封闭性的前提下使得ax=b类方程有解
• 第二次扩充
  • 正有理数集扩充为自然是、零和正分数合在一起的算术数集
  • 引入“0”
  • 位值制计数法产生的需要
• 第三次扩充
  • 算术数集扩充为有理数集
  • 引入了负数
  • 为了表示相反意义的量；解决在非负有理数集中减法运算的不封闭
• 第四次扩充
  • 有理数集扩充为实数集
  • 引入无理数
  • 解决单位正方形边长与对角线不可度量的问题
    • 关键：毕达哥拉斯学派
• 第五次扩充
  • 实数集扩充为复数集
  • 引入虚数
  • 由于数学本身的需要产生
    • 关键人物：数学家塔尔塔利亚